turunan

BAB IV
T U R U N A N

I. Turunan
A. Konsep Limit yang Merumuskan Turunan Fungsi
Kita telah membahas tentang limit dan telah mengetahui bahwa jika ditentukan suatu fungsi f(x) maka kita dapat menentuikan hasil dari .
Hasil dari inilah yang disebut turunan fungsi f(x) yang biasa ditulis :







Contoh .
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut.
1. f(x) = 2
2. f(x) = 2x + 5
3. f(x) = 4x2 + 2x + 1
Jawab :
1. f(x) = 2 f(x+h) = 2
f’(x) =
=
= 0
Jadi f(x) = 2 maka f’(x) = 0

2. f(x) = 2x + 5 f(x+h) = 2(x+h) +5
= 2x + 2h + 5
f’(x) =
=
=
= 2
Jadi f(x) = 2x + 5 maka f’(x) = 2

3. f(x) = 4x2 + 2x + 1 f(x+ h) = 4(x+h)2 + 2(x+h) + 1
= 4(x2+ 2hx+h2) + 2x + 2h + 1
= 4x2 + 8 hx + 4h2 + 2x + 2h + 1
f’(x) =
=
=
= 8x + 2
f(x) = 4x2 + 2x + 1 maka f’(x) = 8x + 2





B. Pengertian Fisik dan Pengertian Geometri Turunan di Suatu Titik.
Kita mengetahui bahwa : atau Jarak = kecepatan x waktu. Sehingga jika dalam waktu t detik sebuah benda bergerak sejauh S meter maka S merupakan fungsi dari t dan ditulis S = f(t). Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t = t1 sampai dengan t = t1 + h adalah , h = . Dengan membuat h cukup kecil sehingga mendekati 0 (nol) maka merupakan kecepatan sesaat pada saat t = t1 yang dilambangkan dengan V(t1)
Jadi : 1). V(t1) =
2). a(t1) = , dengan a(t1) percepatan sesaat pada saat t = t1.

Contoh.
1. Sebuah mobil bergerak lurus dengan jarak yang ditempuh selama t sekon ditentukan dengan rumus S(t) = 2t2 + 3t.
a. Berapakan kecepatan rata-rata pada selang waktu 1 < t < 3 sekon ? b. Berapakah kecepatan sesaat pada t = 3 sekon ? Jawab : S(t) = 2t2 + 3t. a. S(1) = 2.(1)2 + 3(1) = 5 dan S(3) = 2.(3)2 + 3.(3) = 27 Kecepatan rata-rata pada selang 1 < t < 3 : = = = 11 Jadi kecepatan rata-rata pada selang 1 < t < 3 : adalah 11 m/s b. Kecepatan sesaat pada t = 3 : V(t1) = = = = = = = 15 Jadi kecepatan pada saat t = 3 sekon adalah 15 m/s. 2. Sebuah benda jatuh dari suatu ketinggian h. Jika persamaan gerak benda tersebut dirumuskan h(t) = 3t2 + 2t dengan h dalam meter dan t dalam sekon. a. Berapa jarak turunnya benda saat t = 1 dan saat t = 3 sekon ? b. Tentukan kecepatan rata-rata dalam interval 1 < t < 4 sekon ? c. Carilah kecepatan sesaat pada waktu t = 2 sekon ? Jawab : h(t) = 3t2+ 2t a. Jarak turun benda saat t = 1 dan saat t = 3 sekon : t = 1 h(1) = 3.(1)2+2.(1) = 5 meter t = 3 h(3) = 3.(3)2 + 2.(3) = 33 meter b. Kecepatan rata-rata dalam selang 1 < t < 4 sekon : t = 1 h(1) = 3.(1)2+2.(1) = 5 meter t = 4 h(4) = 3.(4)2 + 2.(4) = 56 meter Kecepatan rata-rata : = = = 17 m/s c. Kecepatan sesaat pada t = 2 sekon : V(t1) = = = = = = = 8 Jadi kecepatan pada saat t = 2 sekon adalah 8 m/s. Tugas Portopolio 1 (Pelatihan 1) 1. Andaikan sebuah mobil menempuh jarak S meter dalam t sekon dinyatakan dengan persamaan s = 3t2 +5, tentukanlah : a. kecepatan rata-rata dalam selang 1 < t < 5 b. Kecepatan sesaat saat t = 10 sekon 2. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan s = 3t2 – 2t + 2, s dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan : a. kecepatan rata-rata dalam selang 1 < t < 4 b. Kecepatan sesaat saat t = 5 sekon 3. Sebuah benda dijatuhkan bebas dari ketinggian tertentu. Jika jarak benda dari ketinggian semula dirumuskan h(t) = 5 t2 meter dalam waktu t sekon, Tentukan : a. kecepatan rata-rata dalam selang 2 < t < 3 b. kecepatan benda setelah bergerak 5 sekon. 4. Sebuah partikel bergerak menjelajahi sebuah kurva dengan posisi S = t2 + 5 meter setelah t sekon. Tentukan : a. kecepatan rata-rata dalam selang 2 < t < 5 b. kecepatan partikel setelah bergerak 7 sekon. 5. Sebuah partikel bergerak menjelajahi sebuah kurva dengan posisi S = t2 + 5 meter setelah t sekon. Tentukan : a. kecepatan rata-rata dalam selang 4 < t < 5 b. kecepatan partikel setelah bergerak 3 sekon. C. Laju Perubahan Nilai Fungsi Pandang fungsi f : x f(x) dalam interval a < x < a+h. Nilai f berubah dari f(a) pada x=a sampai f(x+h) pada x = x+h. Dengan analisis proses pengertian limit tersebut di atas, kita dapat memperoleh laju perubahan nilai fungsi f : x f(x) pada x = a adalah : . Rumus tersebut merupakan limit yang diturunkan dari f(x) pada saat x = a yang ditulis f’(a). Sehingga f’(a) disebut turunan (derivatif) fungsi f(x) pada x = a. Contoh. 1. Carilah turunan dari fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = 3x + 2 pada x = 2 Jawab. Turunan f(x) pada x = 2 adalah : f’(3) = = = = 3 2. Sebuah persegi panjang diketahui lebar(l) - nya setengah kali panjangnya. Jika luas persegipanjang tersebut dimisalkan sebagai fungsi f(l) , tentukan laju perubahan luas persegipanjang terhadap l untuk l = 5 cm. Jawab. Misal : lebar = l cm Panjang = ½ l cm Luas : L = ½ l . l = ½ l 2 f(l) = ½ l 2 Turunan fl) pada l = 5 adalah : f’(5) = = = = 5 Tugas Portopolio 2 (Pelatihan2) 1. Diketahui fungsi f(x) = 2x2 + 5. Tentukan turunan dari f pada x = 3 dengan menggunakan rumus f’(a) = . 2. Dengan menggunakan rumus f’(a) = , hitunglah turunan fungsi-fungsi pada nilai x yang disebut. a. f(x) = 2x2 + 3x pada x = 1 b. f(x) = 3x2 + 2x pada x = 5. 3. Gunakan definisi bahwa f’(a) = untuk mencari turunan yang ditunjuk. a. f(x) = 8x – 5 b. f(x) = 5+7x–x2 4. Volum sebuah kubus dirumuskan oleh V = s3. Rumus tersebut menentukan fungsi f yang ditunjukkan oleh f(s) = s3. Tentukan laju perubahan volum terhadap s untuk s = 10. 5. Volum suatu bola dirumuskan oleh V = . Rumus tersebut menentukan fungsi f yang ditunjukkan oleh f(r) = . Tentukan laju perubahan volum terhadap r untuk r = 16. D. Menghitung Turunan Fungsi Aljabar Dengan mengacu rumus f’(a) = di atas, untuk setiap maka berlaku : Catatan : notasi f’(x) dapat dinyatakan dengan notasi Contoh . Gunakan definisi f’(x) = untuk mencari turunan fungsi : 1. f(x) = 3x + 5 2. f(x) = 3x2 + 5x 3. f(x) = Jawab : 1. f(x) = 3x + 5 f’(x) = = = = = 3 2. f(x) = 3x2 + 5x f’(x) = = = = = 6x + 5 3. f(x) = f’(x) = = = = = = = = = = -10x-3 Dengan memperhatikan beberapa contoh di atas, dieroleh : Contoh : 1. f (x) = 4x + 3 f’(x) = 4 2. f(x) = 3x2 + 4x – 1 f’(x) = 6x + 4 3. f(x) = f’(x) = 4. f(x) = = f’(x) = 5. f(x) = = f’(x) = = Tugas Portopolio 3 (Pelatihan 3) 1. Dengan menggunakan definisi f’(x) = , tentukan turunan dari fungsi f jika f(x) diketahui sebagai berikut. a. f(x) = 5x b. f (x) = 3x2 + 6 c. f(x) = , x 0 d. f(x) = , x 0. e. f(x) = x2 + 8x – 5 f. f(x) = 4 + 5x – 6x2 g. f(x) = 3x – 4x2 h. f(x) = 2x3 i. f(x) = 5x2 + 3x j. f(x) = 7x3 + 3x Cocokkan jawabanmu dengan rumus tersebut di atas ! 2. Dengan rumus, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini. a. f(x) = 3x3 b. f(x) = 5x3 + 6x2 c. f(x) = + d. f(x) = 2x2 + 3x - e. f(t) = - f. f(x) = g. f(x) = h. f(x) = 2 i. f(x) = j. f(x) = k. f(x) = l. f(x) = m. f(x) = n. f(x) = o. f(x) = p. f(x) = q. f(x) = r. f(x) = E. Menghitung Turunan Fungsi Trigonometri Untuk menentukan turunan fungsi trigonometri, sebaiknya kita ingat rumus-rumus trigonometri antara lain : 1. sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y 2. cos (x+y) = cos x cosy – sin x sin y 3. tan (x+y) = 4. sin 2x = 2 sin x cos x 5. cos 2x = 1 – 2 sin2 x Disamping rumus-rumus trigonometri kita juga mengetahui bahwa : 1. = 1 2. = 0 3. = 1 Dengan definisi f’(x) = kita akan menemukan rumus turunan fungsi trigonometri . Contoh. Tentukan turunan dari : 1). f(x) = sin x 2). f(x) = cos x 3). f(x) = sin 2x Jawab. 1). f(x) = sin x f(x+h) = sin (x+h) = sin x cos h + cos x sin h f’(x) = = = = = sin x.0 + cos x . 1 = cos x 2). f(x) = cos x f(x+h) = cos (x+h) = cos x cos h - sin x sin h f’(x) = = = = = cos x.0 - sin x . 1 = - sin x 3). f(x) = sin 2x f(x+h) = sin (2x+2h) = sin 2x cos 2h + cos 2x sin 2h f’(x) = = = = = sin 2x.0 - sin 2x . 2 = - 2 sin 2x Tugas Portopolio 4 (Pelatihan 4 ) Dengan menggunakan rumus f’(x) = tentukan turunan fungsi berikut. 1. f(x) = 3 sin x 6. f(x) = sin x cos x 2. f(x) = sin 5x 7. f(x) = 3. f(x) = cos 5x 8. f(x) = 4. f(x) = 3 cos x + 2 sin x 9. f(x) = 5. f(x) = 2x sin x 10. f(x) = F. Turunan Fungsi Komposisi Untuk menentukan turunan fungsi komposisi kita dapat melacak asal fungsi komposisi tersebut sehingga kita dapat menentukan turunannya. Adapun rumus turunan fungsi komposisi antara lain sebagai berikut : 1. f(x) = c g(x) f’(x) = c g’(x) 2. f(x) = u(x) + v(x) f’(x) = u’(x) + v’(x) 3. f(x) = u(x) . v(x) f’(x) = u’(x). v(x) + v’(x). u(x) 4. f(x) = f’(x) = 5. f(x) = [u(x)]n, dengan f’(x) = n un-1(x). u’(x) Contoh. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 1. f(x) = 2x cos x 2. f(x) = 3. f(x) = (2x + 4)5 Jawab : 1. f(x) = 2x cos x u(x) = 2x u’(x) = 2 v(x) = cos x v’(x) = - sin x f(x) = u(x). v(x) f’(x) = u’(x).v(x) + v’(x).u(x) = 2 cos x + (- sin x ). 2x = 2 cos x – 2x sin x 2. f(x) = u(x) = 3x + 5 u’(x) = 3 v(x) = 2x - 3 v’(x) = 2 f(x) = f’(x) = = = = 3. f(x) = (2x + 4)5 u(x) = 2x+4 u'(x) = 2 f(u) = u5 f’(u) = 5u4 f(x) = [u(x)]n, dengan f’(x) = n un-1(x). u’(x) = 5u4. 2 = 5(2x+4)4 . 2 = 10(2x+4)4. Tugas Portopolio 5 (Pelatihan 5 ) Dengan menggunakan sifat-sifat turunan, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 1. 6. 2. f(x) = (x3 +2 x2 +3 x)3 7. f(x) = (x3-x+2)(x4+x) 3. 8. 4. f(x) = 9. 5. 10. 3. Persamaan Garis Singgung pada Kurva Pada awal bab ini kita telah mengetahui bahwa f’(a) = . Notasi f’(x) dapat ditulis dengan . Jika suatu kurva dengan persamaan y = f(x) maka f’(x) = atau . Padahal dalam persamaan garis, . Jadi gradien garis singgung titik P(a,b) di suatu kurva y = f(x) adalah : Contoh . 1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 2x – 5 di titik yang berabsis 1 Jawab. Titik singgung : x = 1 y = (1)2+2.(1)-5 = -2 titik singgung (1, -2) Gradien garis singgung : y’ = 2x + 2 y’x=1 = 2.(1) + 2 = 4 Persamaan garis singgung : y – y1 = m(x – x1) y – (-2)) = 4 (x – 1) y + 2 = 4x – 4 y = 4x – 6. 2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = cos x di titik Jawab. Gradien garis singgung : y’ = - sin x = -1 Persamaan garis singgung : y – y1 = m(x – x1) y – (0) = -1 (x – ) y = -x + x + y + = 0 Tugas Portopolio 6 (Pelatihan 6 ) 1. Tentukan gradient garis singgung setiap kurva berikut pada nilai x yang diberikan. a. y = 3x2 – 2x untuk x = 2 b. y = 2 , untuk x = 4 c. y = untuk x = 2 d. y = 2 - untuk x = 3 e. y = x3 + 5x – 2 untuk x = -3 2. Tentukan persamaan garis singgung setiap kurva dengan titik singgung yang ada a. y = x2 di titik ( 3, 9) b. y = di titik (9, 3) c. y = x2 – 3x + 4 di titik (1, -2) d. y = di titik ( 2, ) e. y = (2x + 5)3 di titik ( 1, 27) 3. Tentukan koordinat titik singgung kurva berikut jika gradiennya (m) diketahui a. y = x3 + x2 , jika gradient garis singgung 2 b. y = 3 + 3x – 2x2 , jika gradient garis singgung –2 c. y = , jika gradient garis singgungnya 2 d. y = , jika gradient garis singgungnya 2. e. y = , jika gradient garis singgungnya –1 . 4. Tentukan gradient setiap kurva pada nilai x yang diketahui a. y = cos x, untuk x = b. y = 2 cos x – 3 sin x, untuk x = c. y = x2 + cos x , untuk x = d. y = sin x + cos x, untuk x = e. y = 2 sin 2x, untuk x = . 5. Tentukan titik singgung ( 0 < x < 360o ) pada gradient tiap-tiap kurve berikut. a. y = sin x, gradient garis singgungnya 1 b. y = x + sin x, gradient garis singgungnya c. . y = 2 sin x – cos x, dengan gradient garis singgung –1. d. y = sin x – 3 cos x, dengan gradient garis singgung 0 4. Fungsi Naik atau Fungsi Turun Untuk menentukan selang di mana suatu fungsi naik atau turun dapat diketahui melalui turunan suatu fungsi. Kita telah mengetahui bahwa gradient garis singgung merupakan nilai turunan pertama di suatu titik. Dengan demikian dapat disimpulkan : Contoh. 1. Tentukan interval dimana fungsi f(x) = x2 –4x +5 naik. Jawab. f(x) = x2 –4x +5 f’(x) = 2x - 4 Naik : f’(x) > 0 2x – 4 > 0
x > 2
Jadi grafik fungsi f(x) = x2 –4x +5 naik pada interval x > 2.

2. Tentukan interval dimana fungsi f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 4 turun.
Jawab.
f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 4 f’(x) = 3x2 + 6x – 9
Turun : f’(x) < 0 3x2 + 6x – 9 < 0 3(x2 + 2x – 3) < 0 3 (x+3)(x-1) < 0 + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + -3 1 Jadi f(x) turun pada interval : -3 < x < 1 Tugas Portopolio 7 (Pelatihan 7) Tentukan interval dimana grafik fungsi berikut naik dan dimana grafik fungsi berikut turun. 1. f(x) = x2 + x – 6 6. g(x) = 2. f(x) = x2 – 5x – 6 7. f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 3. f(x) = x3 – 9x 8. h(x) = 4. y = 9. f(x) = 3x3 5. y = 10 y = 5. Titik Stationer dan Titik Belok a. Menentukan Titik Stationer dan Jenisnya Titik stationer dapat diperoleh dari f’(x) = 0. Sedangkan jenis titik stationer terdiri dari : titik balik maksimum, titik balik minimum dan titik belok. Dari ketiga jenis titik stationer ini dapat diselidiki dari perubahan interval dimana grafik fungsi naik dan turun. - jika : naik – turun titik balik maksimum - jika : turun – naik titik balik minimum - jika : naik – naik titik belok - jika : turun – turun titik belok Contoh 1. Tentukan nilai stationer dan jenisnya dari fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x - 2 Jawab. f(x) = x3 – 6x2 + 9x - 2 f’(x) = 3x2 – 12x + 9 f mempunyai nilai stationer jika f’(x) = 0 3x2 – 12x + 9 = 0 3(x2 – 4x + 3) = 0 3(x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Nilai stationer : f(1) = (1)3 – 6(1)2 + 9(1) – 2 = 0 f(3) = (3)2 – 6(3)2 + 9(3) – 2 = 27 – 54 + 27 – 2 = -2 Jadi nilai stationernya f(1) = 0 dan f(3) = -2 Jenis stationer dapat dilihat dari interval naik/turun : + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + 1 3 Pada x = 1 terjadi perubahan dari naik ke turun,.maka f(1) = 0 adalah nilai maksimum Pada x = 3 terjadi perubahan dari turun ke naik, maka f(2) = -2 adalah nilai minimum. 2. Tentukan titik stationer dan jenisnya dari fungsi f(x) = -x3 Jawab. f(x) = -x3 f’(x) = -3x2 f mempunyai nilai stationer jika f’(x) = 0 - 3x2 = 0 -3(x2) = 0 x1 = 0 atau x2 = 0 Nilai stationer : f(0) = -3(0)3 = 0 Jadi nilai stationernya f(0) = 0 titik stationer (0, 0) Jenis stationer dapat dilihat dari interval naik/turun f’(x) : - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 Pada x = 0 terjadi perubahan dari turun ke turun. Maka f(1) = 0 adalah nilai belok Jadi titik (0, 0) adalah titik belok. Tugas Portopolio 8 (Pelatihan 8) 1. Tentukan nilai stationer dan jenisnya dari fungsi-fungsi berikut ini. a. f(x) = x2 + 5x – 6 f. g(x) = b. f(x) = x2 + 2x – 8 g. f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 c. f(x) = x3 – 9x h. h(x) = d. y = i. f(x) = 3x3 + 5 e. y = j. y = 2. Tentukan koordinat titik stationer dan jenisnya dari fungsi-fungsi berikut ini. a. f(x) = (2 - x)(3+ x) f. g(x) = b. f(x) = x2 – 2x + 4 g. h(x) = c. y = h. f(x) = x4 – 2x2 – 10 d. y = i. f(x) = x4 – 2x3 e. y = j. f(x) = 6 – 12x + 9x2 – 2x3 f. Menggambar Grafik Fungsi Setelah kita mengetahui kedudukan grafik tentang : interval grafik naik, interval grafik turun, titik stationer dan jenisnya maka kita dapat menggunakan hal tersebut untuk menggambar grafik suatu fungsi fungsi. Adapun langkah-langkah untuk menggambar gfarik fungsi adalah sebagai berikut : 1. tentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu koordinat, 2. tentukan interval dimana grafik fungsi naik dan dimana grafik fungsi turun, 3. tentukan koordiat titik stationer dan jenisnya, 4. menentukan nilai y untuk x besar positif dan x besar negarif 5. titik bantu (bila perlu). Contoh Gambarlah grafik fungsi 1. f(x) = x3 – 3x + 2 2. f(x) = y = 2x2 – x4 . Jawab. 1. f(x) = x3 – 3x + 2 - Titik potong grafik dengan sumbu X : y = 0 x3 – 3x + 2 = 0 (x + 2)(x2 – 2x +1) = 0 (x + 2)(x - 1)(x – 1) = 0 x1 = -2, x2 = 1, dan x3 = 1 Jadi titik potong dengan sumbu X : (-2, 0) dan (1, 0) Titik potong grafik dengan sumbu Y : x = 0 y = (0)3 – 3.(0) + 2 = 2 Jadi titik potong grafik dengan sumbu Y : (0, 2) - Interval naik/turun f(x) = x3 – 3x + 2 f’(x) = 3x2 – 3 Naik : f’(x) > 0 3x2 – 3 > 0
3(x2 – 1) > 0
3(x+1)(x-1) > 0
Turun : f’(x) < 0 3x2 – 3 < 0 3(x2 – 1) < 0 3(x+1)(x-1) < 0 Jadi interval naik/turun : + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + - 1 1 naik : x < -1 atau x > 1
turun : -1 < x < 1 - Titik stationer dan jenisnya : Pada x = -1 y = (-1)3 – 3(-1) + 2 = 4 (-1, 4) (-1, 4) titik balik maksimum Pada x = 1 y = (1)3 – 3(1) + 2 = 0 (1, 0) (1, 0) titik balik minimum - Gambar : -2 -1 1 2 2. f(x) = y = 2x2 – x4 . - Titik potong grafik dengan sumbu X : y = 0 2x2 – x4 = 0 2x2(1 - x2 ) = 0 2x2 (1 + x)(1 – x) = 0 x1 = -1, x2 = 0, dan x3 = 1 Jadi titik potong dengan sumbu X : (-1, 0), (0, 0) dan (1, 0) Titik potong grafik dengan sumbu Y : x = 0 y = (0)2 – (0)4 = 0 Jadi titik potong grafik dengan sumbu Y : (0, 0) - Interval naik/turun f(x) = 2x2 – x4 f’(x) = 4x – 4x3 Naik : f’(x) > 0 4x – 4x3 > 0
4x(1 - x2 ) > 0
4x(1+x)(1 - x) > 0
Turun : f’(x) < 0 4x – 4x3 < 0 4x(1 - x2 ) < 0 4x(1+x)(1 - x) < 0 Jadi interval naik/turun : + + + + + + + - - - - - - - - -+ + + + + + - - - - - - - - - - - - - 1 0 1 naik : x < -1 atau x > 1
turun : -1 < x < 1 - Titik stationer dan jenisnya : Pada x = -1 y = (-1)3 – 3(-1) + 2 = 4 (-1, 4) (-1, 4) titik balik maksimum Pada x = 1 y = (1)3 – 3(1) + 2 = 0 (1, 0) (1, 0) titik balik minimum - Gambar : -2 -1 1 2 Tugas Portopolio 9 (Pelatihan 9) Buatlah skets grafik fungsi berikut. 1. y = 2x2 – 8x + 5 2. y = 3x4 + 4x3 3. y = x(1-x)2 4. y = x3 – 6x 5. y = x3(x-5) 6. y = 2x3 – 2x2 7. y = 2x3 – 2x2 – 8 8. y = x3 – 12x 9. y = x3 – 3x5 10. y = 3x4 + 8x2 + 3x + 4 6. Penggunaan Turunan dalam Menghitung Bentuk Taktentu Limit Fungsi. Kita telah mengetahui bahwa f’(a) = . Dengan menggunakan sifat-sifat limit, kita dapat menggunakan turunan untuk menentukan limit fungsi bentuk tak tentu. Jika diketahui dan adalah bentuk tek tentu , maka : = = = Contoh. Dengan menggunakan turunan, tentukan nilai limit fungsi berikut. 1. 2. Jawab. 1. (bentuk ) = = = 2. (bentuk ) = = = = = = ½ Catatan : Turunan pertama dari f(x) = adalah f’(x) = Tugas Portopolio 9 (Pelatihan 9) Dengan menggunakan turunan, tentukan nilai limit fungsi-fungsi berikut. 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10. 7. Ekstrim Fungsi a. Karakteristik Masalah Model Matematika dengan Ektrim Fungsi Untuk membahas tentang masalah model matematika yang berkenaan dengan nilai ekstim (stationer) suatu fungsi adalah : - Jika f(a) > f(x) untuk semua x pada domain f maka f(a) merupakan nilai maksimum mutlak (absolute) dari fungsi f sedangkan jika f(b) < f(x) untuk semua x pada domain f dapat berupa nilai minimum mutlak (absolute) dari fungsi f. Dengan a dan b anggota domain fungsi f. - Nilai balik maksimum fungsi pada domain f dapat berupa nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum relative, demikian juga nilai balik minimum suatu fungsi pada domain f dapat berupa nilai minimum mutlak atau nilai minimum relative. - Untuk mencari nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak fungsi f pada interval tertutup [a,b] dapat dilakukan dengan cara berikut . 1). Tentukan nilai stationer fungsi f dalam interval [a, b]. 2). Tentukan nilai fungsi f(a) dan f(b). 3). Bandingkan antara nilai stationer pada selang [a,b] dengan nilai f(a) dan f(b). Untuk fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c : (grafik berupa parabola) - jika a < 0 (grafik parabola menghadap ke bawah ) mempunyai titik maksimum - jika a > 0 (grafik parabola menghadap ke atas ) mempunyai titik minimum


Contoh.
1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) = x2 + 2x + 4 untuk -2 Jawab.
f(x) = x2 + 2x + 4 f’(x) = 2x + 2
Stationer : f’(x) = 0 2x + 2 = 0
x = -1
Nilai stationer f(-1) =(-1)2 + 2(-1) + 4 = 3
Nilai batas interval : f(-2) = (-2)2 + 2(-2) + 4 = 4
F(2) = (2)2 + 2(2) + 4 = 12
Dari nilai stationer dan nilai batas interval maka diperoleh :
Nilai maksimum 12
Nilai minimum 3

2. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) = x3 - 9x untuk -3
Jawab.
f(x) = x3 - 9x f’(x) = 3x2 - 9
Stationer : f’(x) = 0 3x2 - 9 = 0
3(x2 – 3) = 0


Nilai stationer =
=
=
=
=
=
Nilai batas interval : f(-3) = (-3)3 - 9(-3) = 0
F(3) = (-3)3 - 9(3) = 0
Dari nilai stationer dan nilai batas interval maka diperoleh : nilai maksimum dan nilai minimum


Tugas Portopolio 10 (Pelatihan 10)
1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi-fungsi berikut dalam interval yang diketahui.
a. f(x) = 2x2 – 4x + 5, untuk -1 < x < 1.
b. f(x) = 10 + 8x – x2, untuk 0 < x < 8
c. f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 8 , untuk –2 < x < 4.
d. f(x) = x4 + 3x + 4, untuk –2 < x < 4 .
e. f(x) = 2x4 – x2 – 6 , untuk –3 < x < 4.
f. f(x) =x3 + 3x2 + 3x, untuk –3 < x < 5.

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum relative/mutlak fungsi-fungsi berikut ini.
a. f(x) = x4 + x2 + 20
b. f(x) = x4 – 2x2 – 10
c. f(x) = x3 – 27x + 16
d. f(x) =

b. Penyelesaian Model Matematika
Model matematika dapat dikerjakan dengan turunan khususnya tentang maksimum dan minimum.
Contoh.
Suatu persegipanjang dengan keliling 40 meter. Tentukan ukuran persegipanjang tersebut agar luasnya maksimum !
Jawab.
Misalkan persegipanjang tersebut panjangnya p meter dan lebarnya l meter.
Keliling = 2 (p + l) 40 = 2(p + l)
20 = p + l
p = 20 – l
Luas : L = p x l
= (20 – l).l
L = 20l – l2
Nilai p dan l masing-masing positif
L mencapai stationer bila L’ = 0
L’ = 20 – 2l 20 – 2l = 0
l = 10 meter.
l = 10 p = 20 – l
= 20 – 10
= 10 meter
L maksimum = p x l
= 10 x 10
= 100 m2


Tugas Portopolio 12 (Pelatihan 12)
1. Luas permukaan sebuah balok yang alasnya berbentuk persegi adalah 150 m2.
2. Dua bilangan berjumlah 25. Agar hasil perkalian dua bilangan tersebut maksimum, carilah kedua bilangan tersebut dan hitung hasil perkaliannya.
3. Jumlah dua bilangan positif 80. Tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil perkaliannya maksimum dan berapa hasil perkaliannya ?.
4. Diketahui x + y = 48. Tentukan nilai x dan y agar xy2 maksimum dan tentukan nilai maksimumnya !
5. Selembar karton berbentuk persegi dengan panjang sisinya 24 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan menggunting pojok-pojoknya berbentuk persegi dengan panjang x cm. Tentukan nilai x agar volum kotak mencapai maksimum dan tentukan volum maksimumnya !
6. Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (x3-2000x2+ 3000000x). Jika barang itu harus diproduksikan maka berapakah biaya produksi per unit yang paling rendah perhari ?
7. Reaksi terhadap obat serangga t jam setelah disemprotkan pada tanaman dapat dinyatakan sebagai bilangan tak negative yang sama dengan 15t2 – t3. Berapa jam sebelum habis terjadi reaksi maksimum ?
8. Sehelai karton berukuran 16 cm x 10 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berbentuk persegi yang sisinya x cm. Tentukan :
a. Panjang dan lebar alas kotak yang dinyatakan dalam x.
b. Volum kotak sebagai fungsi x.
c. Nilai x agar volum kotak maksimum
d. Ukuran kotak (panjang, lebar dan tinggi) yang volumnya maksimum.
9. Sebuah bak air tanpa tutup dibuat dengan alas berbentuk persegi. Jumlah luas keempat dinding dan alasnya 27 cm2. Tentukan :
a. Volum maksimum
b. Ukuran bak air
c. Luas alas sehingga volumnya maksimum.
10. Sebuah tabung tanpa tutup terbuat dari seng tipis dapat memuat zat cair sebanyak 64 cm3. Tentukan :
a. luas seluruh tabung minimum
b. jari-jari tabung saat luas seluruh tabung minimum.




B. Jawabla masing-masing soal berikut dengan jelas !
1. Hitunglah nilai dari : .
2. Diketahui persamaan y = f(x) = 3x4 – 4x3 + 2. Tentukan :
a. Titik potong grafik dengan sumbu koordinat,
b. Interval-interval di mana kurve f(x) naik dan di mana turun,
c. Titik stationer
d. Sketsa grafik.

3. Diketahui persamaan fungsi y = f(x) = x3 – 6x2. Tentukan :
a. Titik potong grafik dengan sumbu koordinat,
b. Interval-interval di mana kurve f(x) naik dan di mana turun,
c. Titik stationer
d. Sketsa grafik.

4. Sebuah partikel bergerak setelah t detik menempuh jarak yang dinyatakan dengan rumus : . Hitunglah :
a. kecepatan pada saat t = 3
b. waktu, pada saat kecepatan nol,
c. kecepatan pada saat percepatan nol.

5. Gambar parabola di samping adalah y = -x2 + a. Di dalam parabola tersebut dibuat persegipanjang ABCD dengan A dan B pada sumbu X, C dan D terletak pada parabola. Jika AB = 8 cm, tentukan nilai a agar luas persegipanjang ABCD mencapai maksimum






45. Suatu benda bergerak dengan lintasan yang dirumuskan oleh s = 2t3 – t2 + 4t. Jika percepatannya 10 m/s2, maka nilai t = ….
a. d.
b. e.
c.

silabus

SILABUS

Nama Sekolah : SMA 1 Kendal
Mata Pelajaran : MATEMATIKA
Kelas/Program : XII / IPA
Semester : 1
STANDAR KOMPETENSI:
1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.
KOMPETENSI DASAR MATERI POKOK/
PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN INDIKATOR PENILAIAN WAKTU SUMBER BELAJAR
1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu










o Integral Tak tentu
o Integral Tentu • Mengenal integral tak tentu sebagai anti turunan
• Menentukan integral tak tentu dari fungsi sederhana
• Merumuskan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri
• Merumuskan sifat-sifat integral tak tentu
• Melakukan latihan integral tak tentu
• Mengenal integral tentu sebagai luas daerah di bawah kurva
• Mendiskusikan teorema dasar kalkulus
• Merumuskan sifat integral tentu
• Melakukan latihan soal integral tentu
• Menyelesaikan masalah aplikasi integral tak tentu dan integral tentu • Mengenal arti Integral tak tentu
• Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu dari turunan
• Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
• Mengenal arti integral tentu

• Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral
• Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak tentu
Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 4x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana

Teknik Pengintegralan:
o Substitusi
o Parsial
o Substitusi Trigonometri • Membahas Integral sebagai anti diferensial
• Mengenal berbagai teknik pengintegralan (substitusi dan parsial)
• Menggunakan aturan integral untuk menyelesaikan masalah.
• Menentukan integral dengan dengan cara substitusi
• Menetukan integral dengan dengan cara parsial
• Menentukan integral dengan dengan cara substitusi trigonometri
Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 6x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar

o Luas Daerah
o Volume Benda Putar
• Mendiskusikan cara menentukan luas daerah di bawah kurva (menggambar daerahnya, batas integrasi)
• Menyelesaikan masalah luas daerah di bawah kurva
• Mendiskusikan cara menentukan volume benda putar (menggambar daerahnya, batas integrasi)
• Menyelesaikan masalah benda putar

• Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.
• Menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu x
• Menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu y





Metode :
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Kuiz
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian
12x45’
Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain








STANDAR KOMPETENSI:
2. Menyelesaikan masalah program linear.
KOMPETENSI DASAR MATERI POKOK/
PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN INDIKATOR PENILAIAN WAKTU SUMBER BELAJAR
2.1 Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Program Linear • Menyatakan masalah sehari-hari ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel.
• Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear
• Menyatakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel • Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel
• Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Metode :
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Kuiz
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 2x45’l Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


2.2 Merancang model matematika dari masalah program linear





Model Matematika Program Linier • Mendiskusikan berbagai masalah program linear
• Membahas komponen dari masalah program linear: fungsi objektif, kendala
• Menggambarkan daerah fisibel dari program linear
• Membuat model matematika dari suatu masalah aplikatif program linear
• Mengenal masalah yang merupakan program linier
• Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linier
• Menggambar daerah fisibel dari program linier
• Merumuskan model matematika dari masalah program linear
Metode :
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Kuiz
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 6x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


2.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya

Solusi Program Linier • Mencari penyelesaian optimum sistem pertidaksamaan linear dengan menentukan titik pojok dari daerah fisibel atau menggunakan garis selidik.
• Menafsirkan penyelesaian dari masalah program linier.  Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif
 Menafsirkan solusi dari masalah program linear Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 8x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain
•
STANDAR KOMPETENSI:
3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
KOMPETENSI DASAR MATERI POKOK/
PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN INDIKATOR PENILAIAN WAKTU SUMBER BELAJAR
3.1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain








Matriks
 Pengertian Matriks
 Operasi dan Sifat Matriks
 Matriks Persegi




• Mencari data-data yang disajikan dalam bentuk baris dan kolom
• Menyimak sajian data dalam bentuk matriks
• Mengenal unsur-unsur matriks
• Mengenal pengertian ordo dan jenis matriks
• Melakukan operasi aljabar matriks: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan sifat-sifatnya
• Mengenal matriks invers melalui perkalian dua matriks persegi yang menghasilkan matriks satuan • Mengenal matriks persegi
• Melakukan operasi aljabar atas dua matriks
• Menurunkan sifat-sifat operasi matriks persegi melalui contoh
• Mengenal invers matriks persegi


Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 4x45’










Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


3.2. Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2

Determinan dan Invers matriks




• Mendiskripsikan determinan suatu matriks
• Menggunakan algoritma untuk menentukan nilai determinan matriks pada soal.
• Menemukan rumus untuk mencari invers dari matriks 2x2 • Menentukan determinan matriks 2x2
• Menentukan invers dari matrks 2x2




Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 6x45’




Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


3.3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel




Penerapan matrik pada sistem persamaan linier • Menyajikan masalah sistem persamaan linier dalam bentuk matriks
• Menentukan invers dari matriks koefisien pada persamaan matriks
• Menyelesaikan persamaan matriks dari sistem persamaan liniear variabel
• Menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linier
• Menyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks invers
Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 8x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


3.4. Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah



o Pengertian Vektor
o Operasi dan sifat vektor


• Mengenal besaran skalar dan vektor
• Mendiskusikan vektor yang dapat dinyatakan dalam bentuk ruas garis berarah
• Melakukan kajian vektor satuan
• Melakukan operasi aljabar vektor dan sifat-sifatnya
• Menyelesaiakn masalah perbandingan dua vektor
• Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah
• Mengenal vektor satuan
• Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor
• Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri
• Menggunakan rumus perbandingan vektor
Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 8x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


3.5. Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.

Perkalian skalar dua Vektor
• Merumuskan defifnisi perkalian skalar dua vektor
• Menghitung hasil kali skalar dua vektor dan menemukan sifat-sifatnya
• Melakukan kajian suatu vektor diproyeksikan pada vektor lain
• Menentukan vektor proyeksi dan panjang proyeksinya
• Melakukan kajian menentukan sudut antara dua vektor
• Diskusi kelompok mencari permasalahan sehari-hari yang mempunyai penyelesaian dengan konsep vektor. • Menentukan hasilkali skalar dua vektor di bidang dan ruang

• Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor







Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 8x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


3.6. Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah



Transformasi Geometri • Mendefinisikan arti geometri dari suatu transformasi di bidang melalui pengamatan dan kajian pustaka
• Menentukan hasil transformasi geometri dari sebuah titik dan bangun
• Menentukan operasi aljabar dari transformasi geometri dan mengubahnya ke dalam bentuk persamaan matriks. • Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang
• Melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi refleksi, dilatasi, dan rotasi.
• Menentukan persamaan matriks dari transformasi pada bidang.

Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 8x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain



3.7. Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya

Komposisi Transformasi Geometri
• Mendefinisikan arti geometri dari komposisi transformasi di bidang

• Mendiskusikan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi

• Menggunakan aturan komposisi transformasi untuk memecahkan masalah


• Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi

• Menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi pada bidang.


8x45’
Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain












SILABUS

Nama Sekolah : SMA1 Kendal
Mata Pelajaran : MATEMATIKA
Kelas/Program : XII / IPA
Semester : 2
STANDAR KOMPETENSI:
4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR MATERI POKOK/
PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN INDIKATOR PENILAIAN WAKTU SUMBER BELAJAR
4.1. Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri













o Pola Bilangan
o Barisan Bilangan
o Barisan dan deret Aritmatika dan Geometri










• Mendiskusikan pola dan barisan bilangan
• Merumuskan definisi barisan dan notasinya
• Merumuskan barisan aritmatika
• Menghitung suku ke-n barisan aritmatika
• Merumuskan barisan geometri
• Menghitung suku ke-n barisan geometri
• Menghitung jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri
• Mendiskusikan sisipan dari barisan aritmatika dan geometri
• Mendiskusikan deret geometri tak hingga • Menjelaskan arti barisan dan deret
• Menemukan rumus barisan dan deret aritmatika
• Menemukan rumus barisan dan deret geometri
• Menghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri.
• Menghitung jumlah deret geometri tak hingga deret geometri konvergen


Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 4x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


4.2. Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian



o Notasi Sigma
o Induksi Matematika
• Menyatakan suatu deret dengan notasi sigma
• Diskusi tentang pembuktian di dalam matematika
• Menggunakan induksi matematika sebagai salah satu metode pembuktian dalam deret.
• Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma.
• Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian.

Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 8x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


4.3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret


Model Matematika dari masalah deret • Menyatakan masalah yang merupakan masalah deret dan menentukan variabelnya
• Menyatakan kalimat verbal dari masalah deret ke dalam model matematika.
• Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret.
• Merumuskan model matematika dari masalah deret

Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 8x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain
• Journal
• Internet
4.4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya

Solusi dari masalah deret
• Mencari penyelesaian dari model matematika yang telah diperoleh

• Menafsirkan dari suatu masalah dengan penyelesaian yang berkaitan dengan deret barisan dan deret.

• Menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan dengan deret

• Memberikan tafsiran terhadap hasil penyelesaian yang diperoleh


Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 10x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain




STANDAR KOMPETENSI:
5. Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah
KOMPETENSI DASAR MATERI POKOK/
PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN INDIKATOR PENILAIAN WAKTU SUMBER BELAJAR
5.1. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.
Fungsi eksponen dan Logaritma
• Membahasa ulang arti eksponen dan logaritma dan syaratnya
• Mendiskusikan dan menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma
• Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logritma untuk menyelesaikan masalah • Menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma
• Menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma
• Menyelesiakan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma.
Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 8x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain


5.2. Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma.


Grafik Fungsi eksponen dan Logaritma • Membuat tabel niali fungsi eksponen dan logaritma
• Menggambar sketsa grafik fungsi eksponen dan logaritma
• Menyelidiki sifat-sifat grafik fungsi eksponen dan logaritma • Menentukan nilai fungsi eksponen dan logaritma untuk menggambar grafik
• Menemukan sifat-sifat grafk fungsi eksponen dan logaritma

Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 6x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain

5.3. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana
Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma • Mengidentifikasi syarat dari pertidaksamaan eksponen dan logaritma
• Melakukan operasi aljabar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma
• Menggunakan sifat-sifat fungsi logaritma untuk menyelesaikan masalah pertidaksamaan eksponen dan logaritma • Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen dan syaratnya
• Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma dan syaratnya


Jenis:
 Kuiz
 Tugas Individu
 Tugas Kelompok
 Ulangan

Bentuk Instrumen:
 Tes Tertulis PG
 Tes Tertulis Uraian 8x45’ Sumber:
• Buku Paket
• Buku referensi lain

RPP ukuran pemusatan dan penyebaran data

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Nama Sekolah : SMA N 1 Kebumen
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI IPA/I Ganjil
Alokasi Waktu : 6x45 menit

STANDAR KOMPETENSI
Menggunakan aturan statistika,kaidah pemecahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR
Menghitung ukuran pemusatan,ukuran letak dan ukuran penyebaran data serta penafsiranya.

INDIKATOR
Menentukan ukuran pemusatan : rataan,median,modus,
Menentukan ukuran letak : kuartil,destil,
Menentukan ukuran penyebaran data : jangkauan,simpangan kuartil,ragam,dan simpangan baku.

TUJUAN PEMBELAJARAN
Siswa dapat menentukan ukuran pemusatan : rataan,median,modus,
Siswa dapat menentukan ukuran letak : kuartil,destil,
Siswa dapat menentukan ukuran penyebaran data : jangkauan,simpangan kuartil,ragam,dan simpangan baku.

MATERI PEMBELAJARAN
Ukuran Pemusatan
Rataan
Data Tunggal
Rataan(mean) dari suatu data adalah perbandingan jumlah semua nilai datum dengan banyak datum.Dengan demikian,
Rataan= (jumlah semua nilai datum yang diamati)/(banyak datum yang diamati)
Secara umum:
Jika suatu data terdiri atas nilai-nilai x_1,x_2,x_3,…,x_n,maka rataan dari data iyu ditentukan dengan rumus berikut.
x ̅=(x_1+x_2+x_3+⋯+x_n)/n atau x ̅=1/n
Keterangan x ̅ (dibaca: x bar) : rataan dari suatu data
n : banyaknya datum yang diamati
x_i : nilai datum yang ke-i.
Notasi ∑▒(dibaca:sigma) menyatakan penjumlahan suku-suku.

Data Kelompok
Rataan data kelompok dapat ditentukan dengan rumus:
x ̅=
dengan:
f_i menyatakan frekuensi untuk nilai datum x_i
menyatakan ukuran data
Untuk data yang disajikan dalam bentuk table distribusi frekuensi berkelompok,maka x_i menyatakan titik tengah kelas ke-I dan r menyatakan banyak kelas.

Median
Median adalah sebuah nilai datum yang berada di tengah-tengah,dengan catatan data telah diurutkan dari nilai yang terkrcil sampai dengan terbesar.
Jika nilai-nilai dalam suatu data telah diurutkan,maka median dari data itu dapat ditentukan sebagai berikut.
Jika ukuran data n ganjil,maka medianya adalah nilai datum yang tengah atau nilai datum yang ke (n+1)/2
Ditulis:
Median= x_(n+1)/2
Jika ukuran data n genap,maka medianya adalah rataan dari dua nilai datum yang di tengah atau rataan dari nilai datum ka n/2 dan nilai datum ke ( n/2 +1).
Ditulis:
Median=1/2(x_(n/2)+n_(_2^n)+1 )

Modus
Data Tunggal
Modus dari suatu data yang disajikan dalam bentuk statistic jajaran
x_1,x_2,x_3, … ,x_(n-2,) x_(n-1,) x_n
Ditentukan sebagai nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar.
Suatu data dapat saja memiliki lebih dari satu modus atau kadang-kadang tidak memiliki modus sama sekali.
Data Kelompok
Modus dapat ditentukandengan rumus:
Modus=L+(d1/(d1+d2))c
Dengan:
L =tepi bawah frekuensi kelas modus
d_(1 )=selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d_2 =selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
c =Panjang kelas modus.

Ukuran Letak Data
Kuartil
Data Tunggal
Untuk ststistik jajaran dengan ukuran data n>4,dapat ditentukan 3 buah nilai yang membagi statistik jajaran itu menjadi 4 bagian yang sama.Ketiga nilai ini disebut kuartil,yaitu:
Kuartil pertama (Q_1),mempartisi data menjadi 1/4 bagian dan 3/4 bagian.
Kuartil kedua (Q_2),mempartisi data menjadi 2/4 bagian.Dari sini tampak bahwa Q_2 tidak lain adalah median.
Kuartil ketiga (Q_3) mempartisi data menjadi 3/4 bagian dan 1/4 bagian.
Langkah-langkah untuk mencari kuartil adalah:
Langkah 1
Pertama-tama tentukan median atau kuartil kedua Q_2dengan memakai cara yang pernah diuraikan.
Langkah 2
Kuartil pertama Q_1 ditentukan sebagai median semua nilai datum yang kurang dari Q_2.
Kuartil ketiga Q_3ditentukan sebagai median semua nilai datum yang lebih dari Q_2.
Data Kelompok
Nilai Q_1,Q_(2 )atau median, dan Q_3dari data kelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.
Kuartil pertama=Q_1=L_1+((1/4 n-(∑▒f)1)/f_1 )c
Dengan :
L_1 = tepi bawah kelas yang memuat kuartil pertama Q_1
= jumlah frekuensi sebelum kuartil pertama Q1
f_1 = frekuensi kelas yang memuat kuartil pertama Q_1
Median atau kuartil kedua= Q_2=L_2+((1/2 n-(∑▒f)2)/f_2 )c
Dengan:
L_2 = tepi bawah kelas yang memuat median atau kuartil
kedua Q_2
(∑▒f)2 = jumlah frekuensi sebelum median atau kuartil kedua
〖 Q〗_2
f_2 = frekuensi kelas yang memuat median atau kuartil
kedua Q_2
Kuartil ketiga=Q_3=L_3+((3/4 n-(∑▒f)3)/f_3 )c
Dengan:
L_3 = tepi bawah kelas yang memuat kuartil ketiga Q_3.
= jumlah frekuensi sebelum kuartil ketiga Q_3.
f_3 = frekuensi kelas yang memuat kuartil ketiga Q_(3.)

Desil
Data Tunggal
Untuk statistic jajaran dengan ukuran data n>10,dapat ditentukan 9 buah nilai yang membagi statistic jajaran itu menjadi 10 bagian yang sama.Kesembilan buah nilai itu disebut desil.
Jika suatu data telah dinyatakan dalam bentuk statistic jajaran,maka desil ke-I ditetapkan terletak pada nilai urutan yang ke
i(n+1)/10
Dengan i=1,2,3,….,7,8,9 dan n adalah ukuran data
Jika desil terletak pada nilai urutan antara k dan k+1 dan d adalah bagian decimal dari nilai urutan tersebut maka nilai desilnya adalah:
D_k=x_k+d(x_(k+1)-x_k )

Data Kelompok
Desil dari suatu data yang telah dikelompokan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:
D_i=L_i+((i/10 n-(∑▒f)1)/f_i )c
Dengan :
i = 1,2,3….,9
D_i = desil ke-i
L_i = tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i
(∑▒f)i = jumlah frekuensi sebelum desil ke-i
f_i = frekuensi kelas yang memuat desil ke-i
n = ukuran data
c = panjang kelas

Ukuran Penyebaran Data
Jangkauan
Jangkauan(range)merupakan ukuran penyebaran data yang sederhana.Rentang dari suatu data didefinisikan sebagai selisih antara datum terbesar (statistik maksimum) dengan datum terkecil (statistik minimum).Jika rentang itu dilambangkan dengan R,maka R ditentukan oleh:
R=x_maks-x_min
Simpangan Kuartil
Simpangan kuartil dari suatu data didefinisikan sebagai setengah kali panjang hamparan.Oleh karena itu,simpangan kuartil disebut juga rentang semi antar kuartil.Jika simpangan kuartil dilambangkan dengan Q_(d )maka Q_d ditentukan oleh:
Q_d= 1/2H =1/2 (Q_3-Q_1 )
Ragam dan Simpangan Baku
Data Tunggal
Ukuran penyebaran data yang ada hubunganya dengan nilai rataan dari suatu data adalah ragam dan simpangan baku.
Misalkan x ̅ adalah rataan dari data x_(1,) x_(2,) x_(3,) … ,x_(n,)maka
Ragam atau variansi data itu ditentukan oleh:
S^2=1/n ∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ ) 2
Simpangan baku atau deviasi standar data itu ditenyukan oleh:
S^2=√(S^2 )=1/n ∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ ) 2
dengan n=ukuran data,〖 x〗_i=nilai datum yang ke-i ,dan x ̅=nilai rataan.
Data Kelompok
Ragam dari suatu data yang disajikan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan rumus:
S^2=1/n ∑_(i=1)^r▒f_i (x_i-x ̅ )2
Sedangkan simpangan bakunya ditentukan oleh:
S = √(S^2 ) =
:
n = = ukuran data
r = menyatakan banyak kelas
untuk data yang dikelompokan dalam kelas-kelas,f_i menyatakan frekuensi kelas ke-i,
untuk data yang dikelompokan dalam kelas-kelas,x_i menyatakan titik tengah kelas ke-i.

METODE PEMBELAJARAN
Ceramah dan Tanya jawab

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN
Pendahuluan
Apersepsi
Presentasi kehadiran
Mengulas kembali materi sebelumnya
Motivasi
Guru memberikan garis besar tentang ukuran pemusatan,ukuran letak,dan ukuran penyebaran data agar siswa dapat berfikir dan mengembangkan sesuai dengan kemampuan.
Kegiatan Inti
Guru menjelaskan mengenai ukuran pemusatan ,
Guru memberi contoh mengenai ukuran pemusatan,
Guru meminta siswa mengerjakan soal latihan dipapan tulis,
Guru dan siswa membahas soal latihan,
Guru menjelaskan mengenai ukuran letak,
Guru memberi contoh mengenai ukuran letak,
Guru meminta siswa mengerjakan soal latihan dipapan tulis ,
Guru dan siswa membahas soal latihan,
Guru menjelaskan mengenai ukuran penyebaran data ,
Guru member contoh mengenai ukuran penyebaran data,
Guru meminta siswa mengerjakan soal latihan dipapan tulis,
Guru dan siswa membahas soal latihan.
Penutup
Guru memberikan siswa kesempatan untuk bertanya menginai materi yang belum jelas,
Guru memberikan kesimpulan pada siswa mengena materi yang telah disampaikan,
Guru memberikan tugas.


ALAT DAN SUMBER BELAJAR
Alat
Papan tulis,kapur,penghapus.
Sumber
Sartono Wirodikromo,Matematika untuk SMA kelas XI IPA jilid I,Erlangga,Jakarta,2007.
Nugroho Soedyarto dkk,Matematika untuk SMA kelas XI IPA jilid I,Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional,2008.

PENILAIAN
Tugas Individu
Ulangan Harian

Bentuk Instrumen
Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data 3,7,6,5,3,6,9,8,7,dan 6.Tentukan rataan,median,dan modus dari data tersebut.
Tentukan Q_2 dari data 3,4,7,8,7,4,8,4,9,10,8,3,7,12.
Tentukan jangkauan (range) dari data berikut 6,7,3,8,7,6,10,15,2.


Soal untuk PR
Tentukan medianya.
Nilai 2 3 4 5 6 7 8 9
Frekuensi 3 5 6 8 12 6 7 3

Diketahui data : 9,10,11,6,8,7,7,5,4,5.Tentukan
Desil ke-2
Desil ke-4

Tentukan range dari table berikut ini:
Nilai frekuensi
3-5 3
6-8 6
9-11 16
12-14 8
15-17 7
18-20 10











Kebumen,11 maret 2010
Guru Mata Pelajaran Mahasiswa


Budy Arosiet,S.Pd Budiyono
NIP.19710604 200501 1014 NIM.072143059
Mengetahui
Kepala SMA N 1 Kebumen


Edy Prasetyo,S.Pd
NIP.19620502 198803 1011
 
Jawaban soal PR
Banyaknya data n = 50 (genap),digunakan rumus:

Me = = = = 6

Data diurutkan 4,5,5,6,7,7,8,9,10,11
Letak desil ke-2 diurutan data ke-2(10+1)/10 = 22/10 = 2,2
D_2 terletak pada urutan ke-2,2 sehingga:〖 D〗_2 = x_2+0,2(x_3-x_2 )
Jadi D_2 =5+0,2(5-5) = 5+0 = 5,0
Letak desil ke-4 diurutan data ke- 4(10+1)/10 = 44/10 = 4,4
D_4 terletak pada urutan ke-4,4 sehingga: D_4 = X_4+0,4(X_5-X_4 )
Jadi D_4 = 6+0,4(7-6) = 6+0,4 = 6,4

Nilai tengah kelas terendah = (3+5)/2 = 4
Nilai tengah kelas tertinggi = (18+20)/2 = 19
Jadi,R = 19-4 = 15







 

RPP bilangan irasional

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

Sekolah : SMK N 7 PURWOREJO
Mata pelajaran : Matematika
Kelas/ semester : X/ Ganjil
Pertemuan ke- : 4-5 Pertemuan
Alokasi waktu : 4 x 35 Menit
Standar kompetensi : Memcahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil.
Kompetensi dasar : Menerapkan operasi pada bilangan irasional
Indikator :
Bilangan bentuk akar dioperasikan sesuai dengan sifat- sifatnya.
Bilangan bentuk akar disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat- sifat bentuk akar.


Tujuan pembelajaran
Siswa dapat mengoperasikan bilangan bentuk akar dengan menggunakan sifat- sifatnya.
Siswa dapat menyederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.
Siswa dapat merasionalkan penyebut pecahan dari akar suatu bilangan.

Materi Ajar
Pengertian Akar
Akar merupakan lawan dari pangkat, dengan tanda yang dipunyai oleh suatu bilangan adalah untuk menunjukan bahwa pangkat dari bilangan tadi dibagi oleh indeks yang terdapat pada tanda akar.
Secara umum dituliskan sebagai:
√(n&a^m ) = a^(m/n)
Keterangan:
n adalah indeks akar.
Penulisan akar yang tidak disertai dengan indeks, berarti indeks dari akar tersebut adalah 2.
Misalnya √3 artinya sama dengan 3^(1/2)
Sifat – Sifat Akar
√(n&ab)= √(n&a) x √(n&b)
√(n&a/b)= √(n&a)/√(n&b)
√(n&a^m )= a^(m:n)
√(m&√(n&a))= √(m.n&a)
(√a)^n= √(a^n )
penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
merasionalkan penyebut suatu bentuk pecahan
pecahan- pecahan berbentuk a/√b
dengan menggunakan sifat : √b x √b=b
maka : a/√b x √b/√b= (a√b)/b= a/b √b
pengubah a/√b menjadi (a√b)/b disebut merasionalkan penyebut a/√b.
Pecahan- pecahan berbentuk 1/(a+√b)
Bentuk- bentuk akar a + √(b ) dan a - √b dimana a adalah rasional dan √b adalah bentuk akar, dinamakan bentuk- bentuk akar yang sekawan. Hasil perkaliannya adalah rasional. Sebab (a + √(b )) (a - √b )= a^2 - b , bi;angan pada ruas kanan tersebut adalah bilangan rasional.
Sifat bentuk akar yang sekawan ini kita gunakan untuk merasionalkan penyebut pecahan- pecahan.



Sesuai dengan sifat (3) maka bilangan berbentuk akar dapat diubah menjadi bilangan berbentuk pangkat yang eksponennya rasional (pecahan). Dengan demikian eksponen bilangan berpangkat diberlakukan untuk bilanga rasional m dan n (sifat- sifat perpangkatan)
Metode Pembelajaran
Metode Ceramah
Metode ceramah yaitu cara penyajian bahan pelajaran dengan melalui penjelasan lisan oleh guru kepada siswa.
Metode ceramah merupakan cara penyampain, penyajian bahan pelajaran dengan disertai macam- macam penggunaan metode pelajaran seperti tanya jawab dan diskusi terbatas, pembagian tugas dan sebagainya.
Metode Pemberian Tugas
Metode pemberian tugas yaitu cara dalam proses belajar mengajar dengan jalan memberi tugas kepada siswa. Metode tugas dianjurkan antara lain untuk mendukung metode ceramah, intuiri dan VCT penggunan metode ini memerlukan pemberian tugas dengan baik, baik ruang lingkup maupun bahannya.
Metode Tanya Jawab
Metode tanya jawab yaitu suatu cara untuk menyajikan bahan pelajaran dalam bentuk pertanyaan dari guru yang harus dijawab oleh siswa/ sebaliknya baik secara lisan atau tertulis. Pertanyaan yang diajukan mengenai isi pelajaran yang sedang diajukan oleh guru pertanyaan yang lebih luas, asal berkaitan dengan pelajaran atau pengalaman yang dihayati melalui dengan tanya jawab akan memperluas dan memperdalam pelajaran tersebut.









Langkah- langkah Kegiatan Pembelajaran
Untuk Materi Perbandingan

Fase Rincian langkah- langkah kegiatan Alokasi waktu
1. Pendahuluan/ Kegiatan Awal
Apersepsi
Mengucapkan salam
Berdoa
Absen
Guru Mengingat kembali pelajaran yang telah lalu
10 menit
2. Kegiatan inti
Guru memberikan materi mengenai pengertian akar.
Guru memberikan materi mengenai sifat- sifat akar.
Guru memberikan contoh soal.
Guru memberikan latihan soal- soal. 120 menit
3. Penutup/ kegiatan Akhir
Guru dan siswa melakukan refleksi
Guru memberikan tugas PR
Berdoa dan salan 10 menit


Alat/ Bahan / Sumber Belajar
Guru
Buku matematika SMK Teknologi dan industry, karangan Yudistira
Modul operasi bilangan Riil.
Spidol
White board

Siswa
Alat Tulis
Buku catatan
LKS

Penilaian
Teknik :
Tugas individu
Evaluasi/ ulangan
Kisi kisi
Sub pokok bahasan / indikator No soal Bentuk soal Jumlah soal
Bilangan bentuk akar disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat- sifat bentuk akar.
1-7 Uraian 7

Bentuk Instrument: Uraian
Penilaian:
Nilai = Jumlah Skor : 10


No soal Bentuk soal Jumlah soal Skor
1. Uraian 1 10
2. Uraian 1 15
Uraian 1 10
4. Uraian 1 20
5. Uraian 1 15
6. Uraian 1 15
7. Uraian 1 15



Purworejo, 20 Agustus 2010
Mengetahui
Guru Pembimbing Mahasiswa Praktikan


Suharno, S.Pd. Budiyono
NIP:196402251997021001 Nim: 072143059
 
Soal instrument:
Hitunglah:
√(9^(-3) ) =
∛(√(2&64)) =
1/∛(x^6 ) =
(1^3+ 2^3+ 3^3+ 4^3 )^(1/2)
(4+√5)/√8 =
5/(3-√2)=
5/(√2+ √7)=















Penyelesaian instrument:
1. √(9^(-3) ) = √((3^2 )^(-3) )
= √(3^(2.(-3)) )
= √(3^(-6) )
= 3^((-6)/2)
= 3^(-3)
= 1/3^3
= 1/27 (skor 10)
2.∛(√(2&64)) = √(3.2&64)
= √(6&64)
= √(6&2^6 )
= 2^(6/6) = 2 (skor 15)
3. 1/∛(x^6 ) . x^2= x^(-6/3) .x^2
= x^(-2) . x^2
= x^(-2+2)
= x^0 (skor 15)
4. (1^3+ 2^3+ 3^3+ 4^3 )^(1/2) = √(1^3+ 2^3+ 3^3+ 4^3 )
= √(1+8+27+64)
= √100
= 10 (skor 10)




5. (4+√5)/√8 = (4+√5)/√8 . √8/√8
= (4√8+ √5.8)/8
= (4.√4.2+ √4.10)/8
= (4.2 √2+ 2√10)/8
= 8/8 √2 + 2/8 √10
= √2 + 1/4 √10 (skor 20)
6. 5/(3-√2)= 5/(3-√2) x ((3+ √2))/((3+ √2) )
= (5(3+√2))/((3-√2) ( 3+√2))
= (15+5√2)/(9-4)
= (15+5√2)/7 (skor 15)
7. 5/(√2+ √7) = 5/(√2+ √7) x (√2- √7)/(√2-√7)
= (5(√2- √7)/(2-7)
= (5(√2- √7)/(-5)
= - (√2- √7) (skor 15)

RPP Logaritma

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

Sekolah : SMK N 7 PURWOREJO
Mata pelajaran : Matematika
Kelas/ semester : X/ Ganjil
Pertemuan ke- : 9 - 10 Pertemuan
Alokasi waktu : 4 x 45 Menit
Standar Kompetensi : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep bilangan riil.
Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep logaritma.
Indikator : 1. 0perasi logaritma diseleseikan sesuai dengan sifat-sifatnya.
Soal-soal logaritma diseleseikan dengan menggunakan tabel dan tanpa tabel.
Permasalahan program keahlian diseleseikan dengan menggunakan logaritma.

Tujuan Pembelajaran
Peserta didik dapat mengoperasikan logaritma sesuai dengan sifat-sifatnya.
Peserta didik dapat menyeleseikan soal-soal logaritma dengan menggunakan tabel dan tanpa tabel.
Peserta didik dapat menyeleseikan permasalahan program keahlian dengan menggunakan logaritma.

Materi Ajar
Logaritma.
Logaritma dari b dengan bilangan pokok a ialah suatu bilangan berpangkat dengan bilangan pokok a yang harga sama dengan b.
atau
Logaritma dari b untuk bilangan pokok a adalah c.
Secara umum :
a_log⁡〖b=c〗 a^c = b
Dibaca : logaritma dari bilangan b dengan basis a dengan a,b>0
Ket:
a = bilangan pokok / basis
b = bilangan yang dicari logaritmanya
c = hasil logaritma
logaritma dengan bilangan 10 disebut logaritma biasa dan bilangan pokok tersebut tidak ditulis.
Misal : 〖10〗_log⁡a = log⁡a
Sifat-sifat Logaritma
a_log⁡1 = 0
a_log⁡a = 1
p_log⁡〖a.b〗 = p_log⁡a + p_log⁡b
p_log⁡〖a/b〗 = p_log⁡a - p_log⁡b
p_log⁡〖a^n 〗 = n. p_log⁡a
a_log⁡b . b_log⁡c = a_log⁡c
a_log⁡b = p_log⁡b /p_log⁡a
〖a^n〗_log⁡〖b^m 〗 = m/n . a_log⁡b
Catatan :
p_log⁡1 = 0, karena p^o = 1
p_log⁡p = 1, karena p^1 = p
Contoh :
3_log⁡9 = 3_log⁡〖3^2 〗
= 2
3_log⁡9 + 3_log⁡18 - 3_log⁡2 = 3_log⁡〖9x18/2〗
= 3_log⁡81 = 3_log⁡〖3^4 〗
= 4
Jika diketahui :
log⁡2 = 0,3010
log⁡3 = 0,4771
Tentukan dari log⁡〖6 〗!
Jawab:
log⁡6 = log⁡〖(2x3〗)
= log⁡2 + log⁡3
= 0,3010 + 0,4771
= 0,7781
Pemakaian Daftar Logaritma
Pada daftar disusun dengan bilangan pokok logaritma 10. Dengan sendirinya log⁡10 = 1, log⁡100 = log⁡〖〖10〗^2 〗 = 2, log⁡1000 = log⁡〖〖10〗^3 〗 = 3, dst.
Salah satu cara menentukan nilai logaritma biasa suatu bilangan adalah dengan menggunakan bantuan daftar logaritma.
Pada daftar logaritma ini hanya ditulis mantise (bilangan desimal dari hasil pengambilan ligaritma)saja, sehingga bilangan indeks (bilangan bulat dari hasil pengambilan logaritma)harus ditentukan sendiri terlebih dahulu.
Pada daftar dibawah ini kolom N memuat baris bilangan berurutan dari 0 sampai dengan 1000 kemudian berturut-turut 0 sampai dengan 9 yang kesemuanya memuat mantise.
Mencari hasil logaritma dari bilangan antara 1 sampai dengan 10.
Contoh :
log⁡2,345 = ...?
Karena bilangan ini berada diantara 1 dan 10 sedangkan log 1 = 0 dan log 10 = 1, maka kita tulis : log⁡2,345 = 0,... dimana indeksnya adalah 0. Bilangan di belakang koma yaitu mantise dapat diperoleh dari daftar yaitu pada baris 234 kolom 5 terdapat bilangan 3701.
Jadi, log⁡2,345 = 0,3701




N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
.
.
.
.
.
234
.
.
.
.




3071

Mencari hasil logaritma dari bilangan antara 10 dan 1000.
Contoh :
log⁡19,69 = ...?
Indeks logaritma dari hasil bilangan antara 10 dan 100 adalah 1 dan mantisenya diperoleh dari daftar pada baris 196 kolom 9 terdapat bilangan 2942.
Jadi, log⁡19,69 = 1,2942.
Dengan cara yang sama kita juga bisa memperoleh logaritma bilangan-bilangan >100.
Mencari logaritma dari bilangan yang kuarang dari 1.
Contoh :
log⁡0,9272 = ...?
Indeksnya adalah -1 sedangkan mantisenya dicari pada baris ke 927 kolom 2 terdapat 9672.
Jadi, log⁡〖o,9272〗 = 0,9272 -1 atau dapat ditulis -0,0328
Anti log merupakan proses kebalikan dari pada menghitung harga logaritma.
Misal :
Log x = 1,3786, berapa harga x nya?


Jawab :
Bilangan 1 pada angka 1,3786 adalah merupakan indeksnya sedangkan 3786 adalah mantisenya. Untuk memperoleh anti lognya, maka dicari posisi harga mantisenya dalam daftar , lalu tariklah ke kiri (kolom N) dan ke atas pada kolom angka 0 sampai 9 sehingga diperoleh pada baris 239 kolom 1 dan digabung menjadi 2391. Letak komanya ditentukan berdasarkan besarnya indeks tambah 1 untuk indeks positif dan merupakan banyaknya 0 untuk indeks negatif. Maka jika log x = 1,3786 ,
diperoleh x = 23,91.
Untuk menentukan anti logaritma fungsi trigonometri dilakukan seperti contoh berikut.
Contoh :
Tentukan x jka log sin x = 9,2146 -10.
Penyeleseian :
Bilangan 9,2146 dicari pada kolom log sin dan ditemukan pada kolom M, baris ke 26 dan derajat pada pojok kiri atas tertera 9°. Maka jika log sin x° = 9,2146 -10 maka x° = 9°26’ atau 9,16°
Dengan cara yang sama kita dapat memperoleh :
a) jika log tag x = 9,3212 -10, maka x = 11°50°
b) jika log cos x = 9,6093 -10, maka x = 66°
c) jika log sin x = 0,3058 -10, maka x = 11°40’
Operasi Pada Logaritma.
Hasil dari operasi untuk mantisa harus selalu positif, sedangkan indeksnya mungkin positif atau negatif tergantumg perhitungan.
Operasi Perkalian
Perkalian bilangan bila diubah ke dalam logaritma merupakan penjumlahan logaritma sesuai sifat (1) : log (a x b) = log a + log b.
Contoh :
Hitunglah 6,28 x 2,536.
Jawab :
Misal p = 6,28 x 2,536 , maka log p = log (6,28 x 2,536)
Log p = log 6,28 + log 2,536
Log p = 1,2021
Jadi, log p = 15,926
Operasi Pembagian
Sifat-sifat yang digunakan :
p_log⁡〖a^n 〗 = n. p_log⁡〖a^ 〗
log⁡〖n_a 〗 = 1/n . log⁡a
Contoh :
Hitunglah log 25 !
Jawab :
Log 25 = log 5^2
= 2 log 5
= 2 x 0,6990
= 1,3979
Carilah √(47,32/18,6) !
Jawab :
Misal p = √(47,32/18,6) , maka log p = log √(47,32/18,6)
log⁡p = 1/2 (log 47,32 – log 18,6)
= 1/2 (1,6750 – 1,1643)
= 1/2 (0,2553)

Jadi P = 1,8001





Metode Pembelajaran
Metode Ceramah
Metode ceramah yaitu cara penyajian bahan pelajaran dengan melalui penjelasan lisan oleh guru kepada siswa.
Metode ceramah merupakan cara penyampain, penyajian bahan pelajaran dengan disertai macam- macam penggunaan metode pelajaran seperti tanya jawab dan diskusi terbatas, pembagian tugas dan sebagainya.
Metode Tanya Jawab
Metode tanya jawab yaitu suatu cara untuk menyajikan bahan pelajaran dalam bentuk pertanyaan dari guru yang harus dijawab oleh siswa/ sebaliknya baik secara lisan atau tertulis. Pertanyaan yang diajukan mengenai isi pelajaran yang sedang diajukan oleh guru pertanyaan yang lebih luas, asal berkaitan dengan pelajaran atau pengalaman yang dihayati melalui dengan tanya jawab akan memperluas dan memperdalam pelajaran tersebut.
Metode Pemberian Tugas
Metode pemberian tugas yaitu cara dalam proses belajar mengajar dengan jalan memberi tugas kepada siswa. Metode tugas dianjurkan antara lain untuk mendukung metode ceramah, intuiri dan VCT penggunan metode ini memerlukan pemberian tugas dengan baik, baik ruang lingkup maupun bahannya.

Langkah-langkah Pembelajaran
Fase Kegiatan Alokasi Waktu
1. Kegiatan Awal :
Guru memulai pembelajaran dengan doa dan salam, serta presensi.
Guru membahas tugas jika ada tugas yang telah diberikan pada pertemuan sebelumnya.
Guru sedikit mengulang materi pada pertemuan sebelumnya.

45
2. Kegiatan Inti :
Guru menjelaskan tentang :
Logaritma
Sifat-sifat logaritma
Pemaikaian daftar logaritma
Operasi pada logaritma
Sesuai dengan materi ajar,beserta contohnya.
180
3. Kegiatan akhir :
Guru memberikan latihan soal.
Guru memberikan tugas (PR).
Guru menutup pelajaran dengan doa dan salam. 45


Alat dan Sumber Belajar
Alat
Whiteboard
Spidol
Penghapus
Sumber Belajar
Buku Matematika Teknik kelas X jilid 1, Angkasa.
Buku matematika SMK ( Matematika SMK jilid 1, Depdiknas ).
Buku-buku referensi lain.

Penilaian
Kuis
Tes tertulis
Penugasan


Kriteria Penilaian:
No soal Jumlah soal Bentuk soal Skor
1 2 uraian 20
2 2 uraian 20
3 2 Uraian 20
4 4 Uraian 40

Nilai = jumlah skor : 10



Purworejo, 27 Agustus 2010
Mengetahui,
Guru pembimbing Mahasiswa Praktikan
Suharno, S.Pd. Budiyono
NIP:196402251997021001 Nim: 072143059



 
INSTRUMEN
Sederhanakanlah bentul logaritma berikut:
a) 2log 25 x 3_(log 8) x 5_(log 9 )
b) 3_log⁡√8 x 2_log⁡27 + 4_log⁡243
(skor 20)
Jika log p = a, log q = b dan log r = c, nyatakan tiap bentuk logaritma berikut.
a). log (√p q r^4 )
b). log (√p/(∛q r^3 ))
( skor 20)
Hitunglah soal-soal berikut dengan menggunakan daftar logaritma.
a) jika log 2 = 0,30103 , maka log 25 adalah?
b) ( 0,2476 x 5,189)/0,0625
( skor 20)
Carilah nilai x jika :
a) log x = 1/3 log 8 + log 9 - 1/3 log 27
b) 2_log⁡〖(x-3)〗 = 4
c) x_log⁡〖(x-3)〗 + 1/2_log⁡x = 1
d) 9_log⁡〖(2x-1)〗 = 1/2
( skor 40)



JAWABAN INSTRUMEN
1.a. 2_(log 25) x 3_(log 8) x 5_(log 9 )
= 2_log⁡〖5^2 〗 x 3_log⁡〖2^3 〗 x 5_log⁡〖3^2 〗
= 2 2_log⁡5 x 3 3_log⁡2 x 2 5_log⁡3
= 2. 3. 2 . 2_log⁡5 x 5_log⁡3 x 3_log⁡2
= 12 x 2_log⁡2
= 12 x 1
=12
b. 3_log⁡√8 x 2_log⁡27 + 4_log⁡243
= 3_(log √(2^3 )) x 2_(log 3^3 )+ 4_(log 3^5 )
= 3_(log 2^(3/2) ) x 2_(log 3^3 )+ 4_(log 3^5 )
= 3/2 x 3 3_(log 2) x 2_(log 3)+ 5 4_(log 3)
= 9/2 3_(log 3)+ 5 4_(log 3)
= 9/2 .1+ 5 4_(log 3)
= (9+10)/2 5_(log 3)
= 19/2 5_(log 3)
2. a) log (√p q r^4 )
= log √p + log q + log r^4
= log (p^(1/2) )+log⁡〖q+log⁡〖r^4 〗 〗
= 1/2 log⁡p+log⁡〖q+4 log⁡r 〗
= 1/2 a+b+4c
b) log (√p/(∛q r^3 ))
= log √p - log ∛q-log⁡〖r^3 〗
= log p^(1/2)-log⁡〖q^(1/3) 〗-log⁡〖r^3 〗
= 1/2 log⁡p- 1/3 log⁡q- 3 log⁡r
= 1/2 a- 1/3 b-3c
3. a) log 25 = log 5^2 = 2 . log 5(log 10 – log 2)
= 2 (1-0,30103) = 2 x 0.69897
= 1,39794
b) digunakan daftar 5 angka dibelakang koma
p = (0,2476 x 5,189)/0,0625
log p = log 0,2476 + log 5,189 – log 0,0625
log p = 1,31295
p ≈ 20,56
4.a) log x = 1/3 log 8 + log 9 - 1/3 log 27
= log 8^(1/3)+log⁡〖9-log⁡〖〖27〗^(1/3) 〗 〗
= log (2^3 )^(1/3)+log⁡9-log⁡〖(3^3 )^(1/3) 〗
= log 2 + log 9 – log 3
= log 2.9 : 3
= log 6
Log x = log 6
x = 6

b) 2_log⁡〖(x-3)〗 = 4
X – 3 = 2^4
X – 3 = 16
X = 19
c) x_log⁡〖(x-3)〗 + 1/2_log⁡x = 1
x_log⁡2 . (x – 3) = 1
2(x – 3) = x^1 = x
2x – 6 = x
X = 6
d) 9_log⁡〖(2x-1)〗 = 1/2
2x – 1 = 9^(1/2) = √9 = 3
2x – 1 = 3
2x = 4
x = 2

RPP bilangan real

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

Sekolah : SMK N 7 PURWOREJO
Mata pelajaran : Matematika
Kelas/ semester : X/ Ganjil
Pertemuan ke- : 1- 3 Pertemuan
Alokasi waktu : 6 x 45 Menit
Standar kompetensi : Memcahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil.
Kompetensi dasar : Menerapkan operasi pada bilangan riil
Indikator : Konsep perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan persen digunakan dalam penyelesaian masalah program keahlian.

Tujuan pembelajaran
Siswa dapat menyelesaikan soal yang mengandung perbandingan senilai.
Siswa dapat menyelesaikan yang mengandung perbandingan berbalik nilai.
Siswa dapat menyatakan ukuran sebenarnya jika ukuran pada gambar dan skalanya diketahui.
Siswa dapat menyatakan ukuran pada gambar jika ukuran sebenarnya dan skalanya diketahui.
Siswa dapat menghitung presentase suatu bilangan terhadap bilangan lain.
 

Materi Ajar
Perbandingan
Perbandingan dua buah nilai dapat dinyatakan sebagai pembagian atau pecahan biasa. Misalnya “ 3 : 5 atau 3/5 “ dibaca “ 3 banding 5”. Secara umum perbandingan antara besaran a terhadap b dituliskan sebagai : “a : b” atau “ a/b “ ( dibaca: “a disbanding b”)
Ada dua jenis perbandingan yaitu:
Perbandingan senilai
Perbandingan disebut sebagai perbandingan senilai jika dua perbandingan harganya sama.
Missal:
5 liter minyak mempunyai massa 4 kg dan 20 liter minyak mempunyai massa 8 kg. perbandingan antara kuantitas minyak dan massanya ditulis sebagai:
5 : 10 = 4 : 8 atau 1 : 2 = 1 : 2

Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan disebut berbalik nilai jika dua perbandingan harganya saling berbalikan, misalnya: suatu mobil berjalan sejauh (s) 120 km dalam waktu (t) empat jam pada kecepatan (v) 30 km/jam. Bila kecepatannya 60 km/ jam, maka jarak tersebut ditempuh dalam waktu 2 jam. Artinya jika kecepatan mobil dilipatkan dengan suatu bilangan, maka waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak yang sama dibagi sesuai dengan bilangan kelipatannya.
Dari pemisalan di atas, jika dituliskan dalam bentuk perbandingan, yaitu berbandingan untuk waktu, akan diperoleh 30 : 60 dan senilai 4 : 2.
Dengan model matematika variable- variable yang saling bergantung misalnya disebut x dan y sehingga x berubah dari x_1 menjadi x_2 dan y berubah dari y_1 menjadi y_2, maka :
x_1/x_2 = y_1/y_2 Disebut perbandingan seniali
x_1/x_2 = y_2/y_1 Disebut perbandingan berbalik nilai


Contoh 1 :
Suatu mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam. Jika jarak yang ditempuh 240 km, maka waktu yang diperlukan adalah:
Penyelesaian:
Perbandingannyasebagai berikut:
Jarak waktu
60 1
240 t
Sehingga: 60/240=1/t →t= 240/60 = 4
Jadi waktu yang diperlukan = 4 jam.
Contoh 2:
Perbandingan gaji seorang karyawan dengan gaji isterinya 5 : 3. Jika karyawan tersebut Rp 260.000,00; berapa gaji isterinya?
Penyelesaian :
5 : 3 = 260.000 : x
5/3= 260.000/x
5p=780.000
p= 780.000/5
= Rp.156. 000
 
Skala
Skala adalah bentuk perbandingan senilai ukuran suatu besaran nyata. Symbol untuk menyatakan skala adalah “ : “. Misalnya skala pada peta tertulis 1 : 1. 000.000 artinya jika pada peta 1 cm, maka jarak sebenarnya 1.000.000 cm atau 10 km.
Penulisan skala untuk besaran atau satuan yang tidak sejenis, dituliskan dengan satuan- satuannya. Misalnya 1 cm panjang ukuran menyatakan gaya 200 N dituliskan sebagai 1 cm: 200 N.

Contoh 1:
Jarak 2 kota pada peta 7,5 cm, jika skala pada peta 1 : 150.000. berapakah hjarak sesungguhnya?
Penyelesaian:
Jarak sesungguhnya = 7,5 ×150.000
= 1, 125.000
= 11, 25
Contoh 2:
Diketahui ukuran taman pada ganbar 4 cm ×3 cm dengan skala 1 : 150. Berapa m^2 luas taman yang sesungguhnya?
Penyelesaian:
Diketahui:
Skala 1 : 150
Panjang gambar 4 cm, panjang sesungguhnya 4 × 150 = 600 cm = 6 m
Lebar gambar 3 cm
Lebar sesungguhnya 3 × 150 = 450 cm = 4,5 m
Jadi luas taman yang sesungguhnya adalah 6 m x 4,5 m= 17 m^2
Catatan:
Skala memiliki prinsip dasar operasi pada perbandingan senilai.
Persen
Suatu pecahan dapat dituliskan dalam 3 cara:
Pecahan biasa, missal 2/10

Decimal
Decimal menggunakan nilai tempat, 1/10 ,1/100, dan seterusnya.
Missal :
75/100=0,75 angka 7 nilainya 7 persepuluh, angka 5 nilainya 5 perseratusanya.
Persen
Persen adalah bentuk lain dari pecahan yang menyebutnya seratus.
Symbol yang digunakan untuk menyatakan persen adalah “ % “. Misalnya 2% artinya 2/100.
Untuk mengubah bentuk persen menjadi pecahan dilakukan dengan jalan membagi persen tersebut oleh 100%.
Contoh :
12 1/2% = …/….
12 1/2% : 100% = 25/10 ∶100
= 25/10 × (1 )/100= 1/8
Jadi 12 1/2% = 1/8

Untuk menyatakan perbandingan antara dua besaran, presentase dapat ditentukan dengan pertolongan pernyataan perbandingan sehingga:
Besaran pertama ; besaran kedua = presentase : 100%
Atau
Presentase = (besaran pertama)/(besaran kedua) ×100%

Metode Pembelajaran
Metode Ceramah
Metode ceramah yaitu cara penyajian bahan pelajaran dengan melalui penjelasan lisan oleh guru kepada siswa.
Metode ceramah merupakan cara penyampain, penyajian bahan pelajaran dengan disertai macam- macam penggunaan metode pelajaran seperti tanya jawab dan diskusi terbatas, pembagian tugas dan sebagainya.


Metode Pemberian Tugas
Metode pemberian tugas yaitu cara dalam proses belajar mengajar dengan jalan memberi tugas kepada siswa. Metode tugas dianjurkan antara lain untuk mendukung metode ceramah, intuiri dan VCT penggunan metode ini memerlukan pemberian tugas dengan baik, baik ruang lingkup maupun bahannya.

Metode Diskusi
Metode diskusi adalah suatu penyajian bahan pelajaran dengan cara siswa membahas dengan bertukar pendapat mengenai topik/ masalah tertentu untuk memperoleh suatu pengertian bersama yang lebih jelas dan diteliti tentang topik atau sesuatu untuk memepersiapkan dan menyelesaikan keputusan bersama.

Langkah- langkah Kegiatan Pembelajaran
Untuk Materi Perbandingan

Fase Rincian langkah- langkah kegiatan Alokasi waktu
1. Pendahuluan/ Kegiatan Awal
Apersepsi
Mengucapkan salam
Berdoa
Absen
Guru Mengingat kembali pelajaran yang telah lalu
10 menit
2. Kegiatan inti
Guru memberikan materi mengenai pengertian perbandingan.
Guru memberikan materi mengenai macam- macam perbandingan.
Guru memberikan contoh soal.
Guru memberikan latihan soal- soal. 70 menit
3. Penutup/ kegiatan Akhir
Guru dan siswa melakukan refleksi
Guru memberikan tugas PR
Berdoa dan salan 10 menit

Untuk Materi Skala

Fase Rincian langkah- langkah kegiatan Alokasi waktu
1. Pendahuluan/ Kegiatan Awal
Apersepsi
Mengucapkan salam
Berdoa
Absen
Guru Mengingat kembali pelajaran yang telah lalu
10 menit
2. Kegiatan inti
Guru memberikan materi mengenai pengertian skala.
Guru memberikan contoh soal.
Guru memberikan latihan soal- soal 70 menit
3. Penutup/ Kegiatan Akhir
Guru dan siswa melakukan refleksi
Guru memberikan tugas PR
Berdoa dan salan 10 menit





Untuk Materi Persen

Fase Rincian langkah- langkah kegiatan Alokasi waktu
1. Pendahuluan
Apersepsi
Mengucapkan salam
Berdoa
Absen
Guru mengingatkan kembali materi yang telah lalu.
10 menit
2. Kegiatan inti
Guru memberikan materi mengenai pengertian persen.
Guru memberikan contoh soal.
Guru memberikan latihan soal- soal. 70 menit
3. Penutup
Guru dan siswa melakukan refleksi
Guru memberikan tugas PR
Berdoa dan salan 10 menit

Alat/ Bahan / Sumber Belajar
Guru
Buku matematika SMK Teknologi dan industry, karangan Yudistira
Modul operasi bilangan Riil.
Spidol
White board

Siswa
Alat Tulis
Buku catatan
LKS

Penilaian
Teknik :
Tugas individu
Evaluasi/ ulangan
Kisi kisi

Sub pokok bahasan / indikator No soal Bentuk soal Jumlah soal
Konsep perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala dan persen digunakan dalam penyelesaian masalah program keahlian. 1-7 Uraian 12

Bentuk Instrument: Uraian
Penilaian:
Nilai = Jumlah Skor : 10

No soal Bentuk soal Jumlah soal Skor
1 Uraian 1 10
2 Uraian 1 10
3 Uraian 1 20
4 Uraian 2 20
5 Uraian 3 15
6 Uraian 3 15
7 Uraian 1 10

Purworejo, 18 Agustus 2010
Mengetahui,
Guru pembimbing Mahasiswa Praktikan

Suharno, S.Pd. Budiyono
NIP:196402251997021001 Nim: 072143059
 
Instrumen

Ukuran taman pada gambar 4cm x 6cm dengan skala 1 : 150, berapa m^2 luas taman yang sesungguhnya?
(skor 10)
Jarak 2 kota pada peta 5,5 cm, jika skala pada peta 1 : 150.000, berapakah jarak sesungguhnya?
(skor 10)
Pada peta 2cm mewakili 60km pada jarak sebenarnya, jika jarak sebenarnya 135 km, berapa jarak pada peta?
(skor 20)
Jarak antara kota jakarta dan semarang adalah 575km, berapakah jarak itu pada peta dengan skala :
1/1.000.000
1/750.000
(skor 20)
Nyatakan pecahan berikut ini menjadi bentuk persen
7/10
17/25
30/70
(skor 15)
Nyatakan bilangan persen berikut ini menjadi bentuk decimal atau pecahan
50%
75,5%
4 1/2
(skor 15)
Misal harga premium saat ini adalah Rp 5.000 per liter. Pemerintah menaikkan harga premium sebesar 30% yang diberlakukan bulan depan. Berapakah harga premium bulan depan?
(skor 10)
PENYELESAIAN INSTRUMEN

Diketahui : 1 : 150
Panjang gambar 4cm, panjang sesungguhnya :
8 x 150 = 1200cm = 12 m
Lebar gambar 3cm
Lebar sesungguhnya 6 x 150 = 900cm = 9 m
Jadi, luas taman yang sesungguhnya :
12 m x 9 m = 108 m^2
Jarak sesungguhnya = 5,5cm x 150.000
= 825.000 cm
= 8, 25 km
Dketahui : skala = 2cm : 60km
Jarak sebenarnya = 135km
Jawab :
Skala = (jarak pada peta)/(jarak sebenarnya)
135km = (jarak pada peta)/(2cm∶ 60km)
135km = (jarak pada peta)/(1cm∶ 30km)
Jadi, jarak pada peta adalah 45cm
a. Diketahui :
skala = 1 : 1.000.000
jarak sebenarnya = 575 km
jawab :
skala = (jarak pada peta)/(jarak sebenarnya)
1 : 1.000.000 = (jarak pada peta)/(575 km)
1 : 10km =(jarak pada peta)/(575 km)
Jadi, jarak pada peta adalah 57,5km / 57.500.000c
Diketahui :
skala = 1 : 750.000
jarak sebenarnya = 575 km
jawab :
skala = (jarak pada peta)/(jarak sebenarnya)
1 : 750.000 = (jarak pada peta)/(575 km)
1 : 7,5km =(jarak pada peta)/(575 km)
Jadi, jarak pada peta adalah 76,67km /76.670.000cm
a. 7/10=7/10 x 100% = 70%
b.17/25 x 100% = 17 x 4% = 68%
30/70 x (100/70)/(100/70)=(300/7)/100=42,857/100=42,857%
a. 5% = 50/100=1/2=0,5
b. 75,5% = 75,5/100=755/1000=0,75
c. 4 1/2%=9/2%=(9/2)/100=9/200=0,045
7. Harga premium bulan depan = harga premium saat ini + 30% dari harga
Premium saat ini
= Rp 5.000/liter + 30/100 x Rp 5.000
= Rp 5.000 x (1 + 0,3) / liter
= Rp 6.500 / liter
Contoh Instrument:
Pada suatu peta 5 cm mewakili 8m.
Berapakah panjang sesungguhnya suatu jarak bila panjang pada peta 17,5 cm? (skor 10)
Berapakah panjang pada peta bila panjang sesungguhnya 36 m? (skor 10)
Jarak antara kota Jakarta dan Semarang adalah 575 km. Berapakah jarak itu pada peta dengan skala.
1/1.000.000 (skor 10)
Berapakah skala pada peta jika 1 cm mewakili 5 km?
Bila dua kota terpisah jaraknya 185,5 km, berapakah jarak antara dua kota pada peta? (skor 10)
Bila jarak antara dua kota yang lain pada peta 16,6 cm, berapakah jarak antara dua kota yang sesungguhnya? (skor 10)
Hitunglah 20% dari 7575 (skor10)
Carilah bilangan- bilangan itu jika diketahui
4% dari suatu bilangan adalah 8 (skor 10)
0,6% dari suatu bilangan adalah 30 (skor 10)

Struktur Aljabar

artikel subgrup normal struktur aljabar
19 Jun
SUBGRUP NORMAL DALAM GRUP YANG TIDAK KOMUTATIF
Koset kanan tidak sama dengan koset kiri (Hc ≠ cH), untuk suatu unsur c di grup G, hanya dapat kita temui dalam grup yang tidak komutatif.
Untuk itu, pandang pemetaan dari himpunan S ke dalam S sendiri yang di mana bersifat satu-satu dan pada.
Telah diketahui sebelumnya dalam sifat 1.3.4 :
(Pemetaan f : S → T bersifat satu-satu dan pada jika dan hanya jika terdapat pemetaan g : T → S yang memenuhi g f = idS dan f g = idT.
Pemetaan g : T→ S juga bersifat satu-satu dan pada). (Arifin, Achmad : 11)
Dengan demikian pemetaan f : S → S yang bersifat satu-satu dan pada senantiasa memiliki balikan. Selain itu juga, komposisi tiga pemetaan selalu asosiatif.
Sehingga jika S menyatakan himpunan semua pemetaan f : S → S yng bersifat satu-satu pada, maka terhadap komposisi operasi kali pada S, system matematika (S, x) membentuk grup.
Untuk contoh khususnya, pilih S = {1, 2, 3}. Dapat ditulis juga S = S3. Pemetaan α element S3, disebut permutasi, ditandai dengan :

dengan demikian, kita punya

Komposisi αi αj pada himpunan S3 = { α0, α1, α2, α3, α4, α5 } dapat dituliskan dalam bentuk tabel seperti berikut :
Tabel komposisi αi αj
αi \ αj α0 α1 α2 α3 α4 α5
α0 α0 α1 α2 α3 α4 α5
α1 α1 α0 α4 α5 α2 α3
α2 α2 α5 α0 α4 α3 α1
α3 α3 α4 α5 α0 α1 α2
α4 α4 α3 α1 α2 α5 α0
α5 α5 α2 α3 α1 α0 α4
Dari tabel dapat dilihat bahwa S3 terhadap operasi kali,
yaitu S3 x S3 → S3 yang didefinisikan melalui komposisi, sehingga system matematika (S3 , x) membentuk suatu grup, disebut grup simetri.
Dimana balikan setiap unsure di S3 dapat terlihat dalam tabel tersebut dan S3 bukan merupakan grup komutatif.
Perhatiakan subgroup dari S3 berikut ini :
H1 = { α0 , α1}
H2 = { α0 , α2 }
H3 = { α0 , α3 }
A3 = { α0 , α4 , α5 }
Terhadap subgroup H1 ,H2 , dan H3 koset kanan tidak selalu sama dengan koset kiri.
Tetapi pada subgroup A3, koset kanan senantiasa sama dengan koset kiri.
Dari hal ini muncul pertanyaan,, mengapa demikian???
Berikut akan dibuktikan 2 pernyataan di atas..
1. Akan ditunjukkan bahwa subgroup H1 , H2 , dan H3 tidak bersifat normal atau dengan kata lain koset kanan ≠ koset kiri.
Misal, ambil c = α4
( i ) H1 = { α0 , α1}
c H1 = { α4 α0 , α4 α1 } = { α4 , α3 }
H1 c = { α0 α4 , α1 α4 } = { α4 , α2 }
c H1 ≠ H1 c
( ii ) H2 = { α0 , α2 }
c H2 = { α4 α0 , α4 α2 } = { α4 , α1 }
H2 c = { α0 α4 , α2 α4 } = { α4 , α3 }
c H2 ≠ H2 c
( iii ) H3 = { α0 , α3 }
c H3 = { α4 α0 , α4 α3 } = { α4 , α2 }
H3 c = { α0 α4 , α3 α4 } = { α4 , α1 }
c H3 ≠ H3 c
dari ( i ), ( ii ), dan ( iii ) menunjukkan bahwa H1 ,H2 , dan H3 koset kanannya tidak sama dengan koset kiri atau dengan kata lain H1 ,H2 , dan H3 tidak bersifat normal.
2. Akan ditunjukkan bahwa subgroup A3 senantiasa memiliki koset kanan = koset kiri.
Misal, ambil g element S3
g1 = α1 , g2 = α2 , g3 = α3
( i ) g1 = α1 dan A3 = { α0 , α4 , α5 }
g1 A3 = { α1 α0 , α1 α4 , α1 α5 } = { α1 , α2 , α3 }
A3 g1 = { α0 α1 , α4 α1 , α5 α1 } = { α1 , α3 , α2 }
g1 A3 = A3 g1
( ii ) g2 = α2 dan A3 = { α0 , α4 , α5 }
g2 A3 = { α2 α0 , α2 α4 , α2 α5 } = { α2 , α3 , α1 }
A3 g2 = { α0 α2 , α4 α2 , α5 α2 } = { α2 , α1 , α3 }
g2 A3 = A3 g2
( iii ) g3 = α3 dan A3 = { α0 , α4 , α5 }
g3 A3 = { α3 α0 , α3 α4 , α3 α5 } = { α3 , α1 , α2 }
A3 g3 = { α0 α3 , α4 α3 , α5 α3 } = { α3 , α2 , α1 }
g3 A3 = A3 g3
dari ( i ), ( ii ), dan ( iii ) menunjukkan bahwa subgroup A3, koset kanan senantiasa sama dengan koset kiri.
Dari hal ini juga menunjukkan indeks atau jumlah koset subgroup A3 di S3,
yang dapat ditulis dalam bentuk [S3 : A3] = 2. Yaitu { α1 , α2 , α3 } dan
{ α0 , α4 , α5 } yang merupakan dirinya sendiri.
Dengan demikian, berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas kita punya definisi berikut :
Definisi 3.3.1 Subgrup H dari grup G dikatakan normal jika Hg=gH untuk semua g element G. (Arifin, Achmad : 50)
DAFTAR PUSTAKA
Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung : ITB.
Tags: grup, koset kanan = koset kiri, subgrup normal
Lagrange's theorem (group theory)
From Wikipedia, the free encyclopedia
Jump to: navigation, search
Lagrange's theorem, in the mathematics of group theory, states that for any finite group G, the order (number of elements) of every subgroup H of G divides the order of G. The theorem is named after Joseph Lagrange.
Proof of Lagrange's Theorem
This can be shown using the concept of left cosets of H in G. The left cosets are the equivalence classes of a certain equivalence relation on G and therefore form a partition of G. Specifically, x and y in G are related if and only if there exists h in H such that x = yh. If we can show that all cosets of H have the same number of elements, then each coset of H has precisely |H| elements. We are then done since the order of H times the number of cosets is equal to the number of elements in G, thereby proving that the order H divides the order of G. Now, if aH and bH are two left cosets of H, we can define a map f : aH → bH by setting f(x) = ba-1x. This map is bijective because its inverse is given by f −1(y) = ab−1y.
This proof also shows that the quotient of the orders |G| / |H| is equal to the index [G : H] (the number of left cosets of H in G). If we write this statement as
|G| = [G : H] • |H|,
then, seen as a statement about cardinal numbers, it is equivalent to the Axiom of choice.
Using the theorem
A consequence of the theorem is that the order of any element a of a finite group (i.e. the smallest positive integer number k with ak = e, where e is the identity element of the group) divides the order of that group, since the order of a is equal to the order of the cyclic subgroup generated by a. If the group has n elements, it follows
an = e.
This can be used to prove Fermat's little theorem and its generalization, Euler's theorem. These special cases were known long before the general theorem was proved.
The theorem also shows that any group of prime order is cyclic and simple.
Existence of subgroups of given order
Lagrange's theorem raises the converse question as to whether every divisor of the order of a group is the order of some subgroup. This does not hold in general: given a finite group G and a divisor d of |G|, there does not necessarily exist a subgroup of G with order d. The smallest example is the alternating group G = A4 which has 12 elements but no subgroup of order 6. A CLT group is a finite group with the property that for every divisor of the order of the group, there is a subgroup of that order. It is known that a CLT group must be solvable and that every supersolvable group is a CLT group: however there exists solvable groups which are not CLT and CLT groups which are not supersolvable.
There are partial converses to Lagrange's theorem. For general groups, Cauchy's theorem guarantees the existence of an element, and hence of a cyclic subgroup, of order any prime dividing the group order; Sylow's theorem extends this to the existence of a subgroup of order equal to the maximal power of any prime dividing the group order. For solvable groups, Hall's theorems assert the existence of a subgroup of order equal to any unitary divisor of the group order (that is, a divisor coprime to its cofactor).
History
Lagrange did not prove Lagrange's theorem in its general form. He stated, in his article Réflexions sur la résolution algébrique des équations,[1] that if a polynomial in n variables has its variables permuted in all n ! ways, the number of different polynomials that are obtained is always a factor of n !. (For example if the variables x, y, and z are permuted in all 6 possible ways in the polynomial x + y - z then we get a total of 3 different polynomials: x + y − z, x + z - y, and y + z − x. Note that 3 is a factor of 6.) The number of such polynomials is the index in the symmetric group Sn of the subgroup H of permutations which preserve the polynomial. (For the example of x + y − z, the subgroup H in S3 contains the identity and the transposition (xy).) So the size of H divides n !. With the later development of abstract groups, this result of Lagrange on polynomials was recognized to extend to the general theorem about finite groups which now bears his name.
Lagrange did not prove his theorem; all he did, essentially, was to discuss some special cases. The first complete proof of the theorem was provided by Abbati and published in 1803.[2]
Notes
1. ^ Lagrange, J. L. (1771) "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" [Reflections on the algebraic solution of equations] (part II), Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pages 138-254; see especially pages 202-203. Available on-line (in French, among Lagrange's collected works) at: http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_LAGRANGE__3_205_0 [Click on "Section seconde. De la résolution des équations du quatrième degré 254-304"].
2. ^ P. Abbati (1803) "Lettera di Pietro Abbati Modenese al socio Paolo Ruffini da questo presentata il di 16. Décembre 1802" [Letter from Pietro Abbati of Modena to the member Paolo Ruffini, who submitted it on the 16. December 1802], Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, vol. 10 (part 2), pages 385-409. See also: Richard L. Roth (April 2001) "A history of Lagrange's theorem on groups," Mathematics Magazine, vol. 74, no. 2, pages 99-108





Teorema Lagrange
May 24, 2010 by Aria Turns
Kita tahu bahwa suatu grup dikatakan berhingga jika ordernya berhingga. Jika grup berhingga tentu saja subgrupnya berhingga pula. Nah..teorema Lagrange membahas hubungan grup berhingga dengan subgrupnya.
Pertama-tama akan saya tunjukan bahwa relasi ekuivalen bisa dikontruksikan dari sebarang subgrup.
Lemma: Diberikan subgrup dari dan
1) Relasi biner pada didefinisikan
jika
adalah relasi ekuivalensi kelas- dari adalah
2) Relasi biner pada didefinisikan
jika
adalah relasi ekuivalensi kelas- dari adalah
Himpunan disebut koset kanan dan disebut koset kiri, tentu saja keduanya termuat di .Nah..seperti yang sudah saya katakan (begitu juga ) merupakan kelas ekuivalensi, itu berarti akan terpartisi menjadi himpunan-himpunan
Contoh: Diberikan grup dan subgrup , akan kita cari akan kita partisi menjadi koset-koset dari
Salah satu kosetnya adalah itu sendiri, koset yang memuat 1 adalah . Koset yang memuat 2 adalah . Karena , dan memuat semua anggota , maka kita telah menemukan semua koset.
Teorema: Banyaknya koset kiri dan kanan dari suatu subgrup adalah sama.
Bukti: Jika , adalah koset kanan dari maka adalah koset kiri. Begitupula sebaliknya adalah koset kiri maka adalah koset kanan, itu artinya kita telah menggkontruksikan pemetaan bijektif antara dengan .
Nah..barulah sekarang kita bahas teorema Langrange.
Teorema Langrange: Diberikan subgrup dari grup berhingga maka order dari membagi order dari .
Bukti: Pertama-tama akan dibuktikan , caranya? Tunjukan ada pemetaan bijektif

Kita definisikan saja pemetaan tersebut untuk setiap . Pemetaan ini surjektive berdasarkan definisi yaitu . Untuk membuktikan injektive, andaikan untuk maka . Berdasarkan hukum kanselasi (cancellation law) pada grup, diperoleh . Terbukti injektive. Dengan cara yang sama dapat kita tunjukan , maka dapat dismpulkan
Setiap koset baik kiri maupun kanan dari subgrup mempunyai order yang sama dari order itu sendiri
Karena merupakan kelas ekuivalensi maka terpartisi menjadi koset kiri, yang setiap koset kiri mempunyai anggota sebanyak . Jadi dapat disimpulkan


Jika kita mempunyai sebarang grup berhingga maka berdasarkan teorema Langrange, order dari subgrupnya akan selalu membagi order dari tersebut.