Struktur Aljabar

artikel subgrup normal struktur aljabar
19 Jun
SUBGRUP NORMAL DALAM GRUP YANG TIDAK KOMUTATIF
Koset kanan tidak sama dengan koset kiri (Hc ≠ cH), untuk suatu unsur c di grup G, hanya dapat kita temui dalam grup yang tidak komutatif.
Untuk itu, pandang pemetaan dari himpunan S ke dalam S sendiri yang di mana bersifat satu-satu dan pada.
Telah diketahui sebelumnya dalam sifat 1.3.4 :
(Pemetaan f : S → T bersifat satu-satu dan pada jika dan hanya jika terdapat pemetaan g : T → S yang memenuhi g f = idS dan f g = idT.
Pemetaan g : T→ S juga bersifat satu-satu dan pada). (Arifin, Achmad : 11)
Dengan demikian pemetaan f : S → S yang bersifat satu-satu dan pada senantiasa memiliki balikan. Selain itu juga, komposisi tiga pemetaan selalu asosiatif.
Sehingga jika S menyatakan himpunan semua pemetaan f : S → S yng bersifat satu-satu pada, maka terhadap komposisi operasi kali pada S, system matematika (S, x) membentuk grup.
Untuk contoh khususnya, pilih S = {1, 2, 3}. Dapat ditulis juga S = S3. Pemetaan α element S3, disebut permutasi, ditandai dengan :

dengan demikian, kita punya

Komposisi αi αj pada himpunan S3 = { α0, α1, α2, α3, α4, α5 } dapat dituliskan dalam bentuk tabel seperti berikut :
Tabel komposisi αi αj
αi \ αj α0 α1 α2 α3 α4 α5
α0 α0 α1 α2 α3 α4 α5
α1 α1 α0 α4 α5 α2 α3
α2 α2 α5 α0 α4 α3 α1
α3 α3 α4 α5 α0 α1 α2
α4 α4 α3 α1 α2 α5 α0
α5 α5 α2 α3 α1 α0 α4
Dari tabel dapat dilihat bahwa S3 terhadap operasi kali,
yaitu S3 x S3 → S3 yang didefinisikan melalui komposisi, sehingga system matematika (S3 , x) membentuk suatu grup, disebut grup simetri.
Dimana balikan setiap unsure di S3 dapat terlihat dalam tabel tersebut dan S3 bukan merupakan grup komutatif.
Perhatiakan subgroup dari S3 berikut ini :
H1 = { α0 , α1}
H2 = { α0 , α2 }
H3 = { α0 , α3 }
A3 = { α0 , α4 , α5 }
Terhadap subgroup H1 ,H2 , dan H3 koset kanan tidak selalu sama dengan koset kiri.
Tetapi pada subgroup A3, koset kanan senantiasa sama dengan koset kiri.
Dari hal ini muncul pertanyaan,, mengapa demikian???
Berikut akan dibuktikan 2 pernyataan di atas..
1. Akan ditunjukkan bahwa subgroup H1 , H2 , dan H3 tidak bersifat normal atau dengan kata lain koset kanan ≠ koset kiri.
Misal, ambil c = α4
( i ) H1 = { α0 , α1}
c H1 = { α4 α0 , α4 α1 } = { α4 , α3 }
H1 c = { α0 α4 , α1 α4 } = { α4 , α2 }
c H1 ≠ H1 c
( ii ) H2 = { α0 , α2 }
c H2 = { α4 α0 , α4 α2 } = { α4 , α1 }
H2 c = { α0 α4 , α2 α4 } = { α4 , α3 }
c H2 ≠ H2 c
( iii ) H3 = { α0 , α3 }
c H3 = { α4 α0 , α4 α3 } = { α4 , α2 }
H3 c = { α0 α4 , α3 α4 } = { α4 , α1 }
c H3 ≠ H3 c
dari ( i ), ( ii ), dan ( iii ) menunjukkan bahwa H1 ,H2 , dan H3 koset kanannya tidak sama dengan koset kiri atau dengan kata lain H1 ,H2 , dan H3 tidak bersifat normal.
2. Akan ditunjukkan bahwa subgroup A3 senantiasa memiliki koset kanan = koset kiri.
Misal, ambil g element S3
g1 = α1 , g2 = α2 , g3 = α3
( i ) g1 = α1 dan A3 = { α0 , α4 , α5 }
g1 A3 = { α1 α0 , α1 α4 , α1 α5 } = { α1 , α2 , α3 }
A3 g1 = { α0 α1 , α4 α1 , α5 α1 } = { α1 , α3 , α2 }
g1 A3 = A3 g1
( ii ) g2 = α2 dan A3 = { α0 , α4 , α5 }
g2 A3 = { α2 α0 , α2 α4 , α2 α5 } = { α2 , α3 , α1 }
A3 g2 = { α0 α2 , α4 α2 , α5 α2 } = { α2 , α1 , α3 }
g2 A3 = A3 g2
( iii ) g3 = α3 dan A3 = { α0 , α4 , α5 }
g3 A3 = { α3 α0 , α3 α4 , α3 α5 } = { α3 , α1 , α2 }
A3 g3 = { α0 α3 , α4 α3 , α5 α3 } = { α3 , α2 , α1 }
g3 A3 = A3 g3
dari ( i ), ( ii ), dan ( iii ) menunjukkan bahwa subgroup A3, koset kanan senantiasa sama dengan koset kiri.
Dari hal ini juga menunjukkan indeks atau jumlah koset subgroup A3 di S3,
yang dapat ditulis dalam bentuk [S3 : A3] = 2. Yaitu { α1 , α2 , α3 } dan
{ α0 , α4 , α5 } yang merupakan dirinya sendiri.
Dengan demikian, berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas kita punya definisi berikut :
Definisi 3.3.1 Subgrup H dari grup G dikatakan normal jika Hg=gH untuk semua g element G. (Arifin, Achmad : 50)
DAFTAR PUSTAKA
Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung : ITB.
Tags: grup, koset kanan = koset kiri, subgrup normal
Lagrange's theorem (group theory)
From Wikipedia, the free encyclopedia
Jump to: navigation, search
Lagrange's theorem, in the mathematics of group theory, states that for any finite group G, the order (number of elements) of every subgroup H of G divides the order of G. The theorem is named after Joseph Lagrange.
Proof of Lagrange's Theorem
This can be shown using the concept of left cosets of H in G. The left cosets are the equivalence classes of a certain equivalence relation on G and therefore form a partition of G. Specifically, x and y in G are related if and only if there exists h in H such that x = yh. If we can show that all cosets of H have the same number of elements, then each coset of H has precisely |H| elements. We are then done since the order of H times the number of cosets is equal to the number of elements in G, thereby proving that the order H divides the order of G. Now, if aH and bH are two left cosets of H, we can define a map f : aH → bH by setting f(x) = ba-1x. This map is bijective because its inverse is given by f −1(y) = ab−1y.
This proof also shows that the quotient of the orders |G| / |H| is equal to the index [G : H] (the number of left cosets of H in G). If we write this statement as
|G| = [G : H] • |H|,
then, seen as a statement about cardinal numbers, it is equivalent to the Axiom of choice.
Using the theorem
A consequence of the theorem is that the order of any element a of a finite group (i.e. the smallest positive integer number k with ak = e, where e is the identity element of the group) divides the order of that group, since the order of a is equal to the order of the cyclic subgroup generated by a. If the group has n elements, it follows
an = e.
This can be used to prove Fermat's little theorem and its generalization, Euler's theorem. These special cases were known long before the general theorem was proved.
The theorem also shows that any group of prime order is cyclic and simple.
Existence of subgroups of given order
Lagrange's theorem raises the converse question as to whether every divisor of the order of a group is the order of some subgroup. This does not hold in general: given a finite group G and a divisor d of |G|, there does not necessarily exist a subgroup of G with order d. The smallest example is the alternating group G = A4 which has 12 elements but no subgroup of order 6. A CLT group is a finite group with the property that for every divisor of the order of the group, there is a subgroup of that order. It is known that a CLT group must be solvable and that every supersolvable group is a CLT group: however there exists solvable groups which are not CLT and CLT groups which are not supersolvable.
There are partial converses to Lagrange's theorem. For general groups, Cauchy's theorem guarantees the existence of an element, and hence of a cyclic subgroup, of order any prime dividing the group order; Sylow's theorem extends this to the existence of a subgroup of order equal to the maximal power of any prime dividing the group order. For solvable groups, Hall's theorems assert the existence of a subgroup of order equal to any unitary divisor of the group order (that is, a divisor coprime to its cofactor).
History
Lagrange did not prove Lagrange's theorem in its general form. He stated, in his article Réflexions sur la résolution algébrique des équations,[1] that if a polynomial in n variables has its variables permuted in all n ! ways, the number of different polynomials that are obtained is always a factor of n !. (For example if the variables x, y, and z are permuted in all 6 possible ways in the polynomial x + y - z then we get a total of 3 different polynomials: x + y − z, x + z - y, and y + z − x. Note that 3 is a factor of 6.) The number of such polynomials is the index in the symmetric group Sn of the subgroup H of permutations which preserve the polynomial. (For the example of x + y − z, the subgroup H in S3 contains the identity and the transposition (xy).) So the size of H divides n !. With the later development of abstract groups, this result of Lagrange on polynomials was recognized to extend to the general theorem about finite groups which now bears his name.
Lagrange did not prove his theorem; all he did, essentially, was to discuss some special cases. The first complete proof of the theorem was provided by Abbati and published in 1803.[2]
Notes
1. ^ Lagrange, J. L. (1771) "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" [Reflections on the algebraic solution of equations] (part II), Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pages 138-254; see especially pages 202-203. Available on-line (in French, among Lagrange's collected works) at: http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_LAGRANGE__3_205_0 [Click on "Section seconde. De la résolution des équations du quatrième degré 254-304"].
2. ^ P. Abbati (1803) "Lettera di Pietro Abbati Modenese al socio Paolo Ruffini da questo presentata il di 16. Décembre 1802" [Letter from Pietro Abbati of Modena to the member Paolo Ruffini, who submitted it on the 16. December 1802], Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, vol. 10 (part 2), pages 385-409. See also: Richard L. Roth (April 2001) "A history of Lagrange's theorem on groups," Mathematics Magazine, vol. 74, no. 2, pages 99-108





Teorema Lagrange
May 24, 2010 by Aria Turns
Kita tahu bahwa suatu grup dikatakan berhingga jika ordernya berhingga. Jika grup berhingga tentu saja subgrupnya berhingga pula. Nah..teorema Lagrange membahas hubungan grup berhingga dengan subgrupnya.
Pertama-tama akan saya tunjukan bahwa relasi ekuivalen bisa dikontruksikan dari sebarang subgrup.
Lemma: Diberikan subgrup dari dan
1) Relasi biner pada didefinisikan
jika
adalah relasi ekuivalensi kelas- dari adalah
2) Relasi biner pada didefinisikan
jika
adalah relasi ekuivalensi kelas- dari adalah
Himpunan disebut koset kanan dan disebut koset kiri, tentu saja keduanya termuat di .Nah..seperti yang sudah saya katakan (begitu juga ) merupakan kelas ekuivalensi, itu berarti akan terpartisi menjadi himpunan-himpunan
Contoh: Diberikan grup dan subgrup , akan kita cari akan kita partisi menjadi koset-koset dari
Salah satu kosetnya adalah itu sendiri, koset yang memuat 1 adalah . Koset yang memuat 2 adalah . Karena , dan memuat semua anggota , maka kita telah menemukan semua koset.
Teorema: Banyaknya koset kiri dan kanan dari suatu subgrup adalah sama.
Bukti: Jika , adalah koset kanan dari maka adalah koset kiri. Begitupula sebaliknya adalah koset kiri maka adalah koset kanan, itu artinya kita telah menggkontruksikan pemetaan bijektif antara dengan .
Nah..barulah sekarang kita bahas teorema Langrange.
Teorema Langrange: Diberikan subgrup dari grup berhingga maka order dari membagi order dari .
Bukti: Pertama-tama akan dibuktikan , caranya? Tunjukan ada pemetaan bijektif

Kita definisikan saja pemetaan tersebut untuk setiap . Pemetaan ini surjektive berdasarkan definisi yaitu . Untuk membuktikan injektive, andaikan untuk maka . Berdasarkan hukum kanselasi (cancellation law) pada grup, diperoleh . Terbukti injektive. Dengan cara yang sama dapat kita tunjukan , maka dapat dismpulkan
Setiap koset baik kiri maupun kanan dari subgrup mempunyai order yang sama dari order itu sendiri
Karena merupakan kelas ekuivalensi maka terpartisi menjadi koset kiri, yang setiap koset kiri mempunyai anggota sebanyak . Jadi dapat disimpulkan


Jika kita mempunyai sebarang grup berhingga maka berdasarkan teorema Langrange, order dari subgrupnya akan selalu membagi order dari tersebut.