turunan

BAB IV
T U R U N A N

I. Turunan
A. Konsep Limit yang Merumuskan Turunan Fungsi
Kita telah membahas tentang limit dan telah mengetahui bahwa jika ditentukan suatu fungsi f(x) maka kita dapat menentuikan hasil dari .
Hasil dari inilah yang disebut turunan fungsi f(x) yang biasa ditulis :







Contoh .
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut.
1. f(x) = 2
2. f(x) = 2x + 5
3. f(x) = 4x2 + 2x + 1
Jawab :
1. f(x) = 2 f(x+h) = 2
f’(x) =
=
= 0
Jadi f(x) = 2 maka f’(x) = 0

2. f(x) = 2x + 5 f(x+h) = 2(x+h) +5
= 2x + 2h + 5
f’(x) =
=
=
= 2
Jadi f(x) = 2x + 5 maka f’(x) = 2

3. f(x) = 4x2 + 2x + 1 f(x+ h) = 4(x+h)2 + 2(x+h) + 1
= 4(x2+ 2hx+h2) + 2x + 2h + 1
= 4x2 + 8 hx + 4h2 + 2x + 2h + 1
f’(x) =
=
=
= 8x + 2
f(x) = 4x2 + 2x + 1 maka f’(x) = 8x + 2





B. Pengertian Fisik dan Pengertian Geometri Turunan di Suatu Titik.
Kita mengetahui bahwa : atau Jarak = kecepatan x waktu. Sehingga jika dalam waktu t detik sebuah benda bergerak sejauh S meter maka S merupakan fungsi dari t dan ditulis S = f(t). Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t = t1 sampai dengan t = t1 + h adalah , h = . Dengan membuat h cukup kecil sehingga mendekati 0 (nol) maka merupakan kecepatan sesaat pada saat t = t1 yang dilambangkan dengan V(t1)
Jadi : 1). V(t1) =
2). a(t1) = , dengan a(t1) percepatan sesaat pada saat t = t1.

Contoh.
1. Sebuah mobil bergerak lurus dengan jarak yang ditempuh selama t sekon ditentukan dengan rumus S(t) = 2t2 + 3t.
a. Berapakan kecepatan rata-rata pada selang waktu 1 < t < 3 sekon ? b. Berapakah kecepatan sesaat pada t = 3 sekon ? Jawab : S(t) = 2t2 + 3t. a. S(1) = 2.(1)2 + 3(1) = 5 dan S(3) = 2.(3)2 + 3.(3) = 27 Kecepatan rata-rata pada selang 1 < t < 3 : = = = 11 Jadi kecepatan rata-rata pada selang 1 < t < 3 : adalah 11 m/s b. Kecepatan sesaat pada t = 3 : V(t1) = = = = = = = 15 Jadi kecepatan pada saat t = 3 sekon adalah 15 m/s. 2. Sebuah benda jatuh dari suatu ketinggian h. Jika persamaan gerak benda tersebut dirumuskan h(t) = 3t2 + 2t dengan h dalam meter dan t dalam sekon. a. Berapa jarak turunnya benda saat t = 1 dan saat t = 3 sekon ? b. Tentukan kecepatan rata-rata dalam interval 1 < t < 4 sekon ? c. Carilah kecepatan sesaat pada waktu t = 2 sekon ? Jawab : h(t) = 3t2+ 2t a. Jarak turun benda saat t = 1 dan saat t = 3 sekon : t = 1 h(1) = 3.(1)2+2.(1) = 5 meter t = 3 h(3) = 3.(3)2 + 2.(3) = 33 meter b. Kecepatan rata-rata dalam selang 1 < t < 4 sekon : t = 1 h(1) = 3.(1)2+2.(1) = 5 meter t = 4 h(4) = 3.(4)2 + 2.(4) = 56 meter Kecepatan rata-rata : = = = 17 m/s c. Kecepatan sesaat pada t = 2 sekon : V(t1) = = = = = = = 8 Jadi kecepatan pada saat t = 2 sekon adalah 8 m/s. Tugas Portopolio 1 (Pelatihan 1) 1. Andaikan sebuah mobil menempuh jarak S meter dalam t sekon dinyatakan dengan persamaan s = 3t2 +5, tentukanlah : a. kecepatan rata-rata dalam selang 1 < t < 5 b. Kecepatan sesaat saat t = 10 sekon 2. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan s = 3t2 – 2t + 2, s dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan : a. kecepatan rata-rata dalam selang 1 < t < 4 b. Kecepatan sesaat saat t = 5 sekon 3. Sebuah benda dijatuhkan bebas dari ketinggian tertentu. Jika jarak benda dari ketinggian semula dirumuskan h(t) = 5 t2 meter dalam waktu t sekon, Tentukan : a. kecepatan rata-rata dalam selang 2 < t < 3 b. kecepatan benda setelah bergerak 5 sekon. 4. Sebuah partikel bergerak menjelajahi sebuah kurva dengan posisi S = t2 + 5 meter setelah t sekon. Tentukan : a. kecepatan rata-rata dalam selang 2 < t < 5 b. kecepatan partikel setelah bergerak 7 sekon. 5. Sebuah partikel bergerak menjelajahi sebuah kurva dengan posisi S = t2 + 5 meter setelah t sekon. Tentukan : a. kecepatan rata-rata dalam selang 4 < t < 5 b. kecepatan partikel setelah bergerak 3 sekon. C. Laju Perubahan Nilai Fungsi Pandang fungsi f : x f(x) dalam interval a < x < a+h. Nilai f berubah dari f(a) pada x=a sampai f(x+h) pada x = x+h. Dengan analisis proses pengertian limit tersebut di atas, kita dapat memperoleh laju perubahan nilai fungsi f : x f(x) pada x = a adalah : . Rumus tersebut merupakan limit yang diturunkan dari f(x) pada saat x = a yang ditulis f’(a). Sehingga f’(a) disebut turunan (derivatif) fungsi f(x) pada x = a. Contoh. 1. Carilah turunan dari fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = 3x + 2 pada x = 2 Jawab. Turunan f(x) pada x = 2 adalah : f’(3) = = = = 3 2. Sebuah persegi panjang diketahui lebar(l) - nya setengah kali panjangnya. Jika luas persegipanjang tersebut dimisalkan sebagai fungsi f(l) , tentukan laju perubahan luas persegipanjang terhadap l untuk l = 5 cm. Jawab. Misal : lebar = l cm Panjang = ½ l cm Luas : L = ½ l . l = ½ l 2 f(l) = ½ l 2 Turunan fl) pada l = 5 adalah : f’(5) = = = = 5 Tugas Portopolio 2 (Pelatihan2) 1. Diketahui fungsi f(x) = 2x2 + 5. Tentukan turunan dari f pada x = 3 dengan menggunakan rumus f’(a) = . 2. Dengan menggunakan rumus f’(a) = , hitunglah turunan fungsi-fungsi pada nilai x yang disebut. a. f(x) = 2x2 + 3x pada x = 1 b. f(x) = 3x2 + 2x pada x = 5. 3. Gunakan definisi bahwa f’(a) = untuk mencari turunan yang ditunjuk. a. f(x) = 8x – 5 b. f(x) = 5+7x–x2 4. Volum sebuah kubus dirumuskan oleh V = s3. Rumus tersebut menentukan fungsi f yang ditunjukkan oleh f(s) = s3. Tentukan laju perubahan volum terhadap s untuk s = 10. 5. Volum suatu bola dirumuskan oleh V = . Rumus tersebut menentukan fungsi f yang ditunjukkan oleh f(r) = . Tentukan laju perubahan volum terhadap r untuk r = 16. D. Menghitung Turunan Fungsi Aljabar Dengan mengacu rumus f’(a) = di atas, untuk setiap maka berlaku : Catatan : notasi f’(x) dapat dinyatakan dengan notasi Contoh . Gunakan definisi f’(x) = untuk mencari turunan fungsi : 1. f(x) = 3x + 5 2. f(x) = 3x2 + 5x 3. f(x) = Jawab : 1. f(x) = 3x + 5 f’(x) = = = = = 3 2. f(x) = 3x2 + 5x f’(x) = = = = = 6x + 5 3. f(x) = f’(x) = = = = = = = = = = -10x-3 Dengan memperhatikan beberapa contoh di atas, dieroleh : Contoh : 1. f (x) = 4x + 3 f’(x) = 4 2. f(x) = 3x2 + 4x – 1 f’(x) = 6x + 4 3. f(x) = f’(x) = 4. f(x) = = f’(x) = 5. f(x) = = f’(x) = = Tugas Portopolio 3 (Pelatihan 3) 1. Dengan menggunakan definisi f’(x) = , tentukan turunan dari fungsi f jika f(x) diketahui sebagai berikut. a. f(x) = 5x b. f (x) = 3x2 + 6 c. f(x) = , x 0 d. f(x) = , x 0. e. f(x) = x2 + 8x – 5 f. f(x) = 4 + 5x – 6x2 g. f(x) = 3x – 4x2 h. f(x) = 2x3 i. f(x) = 5x2 + 3x j. f(x) = 7x3 + 3x Cocokkan jawabanmu dengan rumus tersebut di atas ! 2. Dengan rumus, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini. a. f(x) = 3x3 b. f(x) = 5x3 + 6x2 c. f(x) = + d. f(x) = 2x2 + 3x - e. f(t) = - f. f(x) = g. f(x) = h. f(x) = 2 i. f(x) = j. f(x) = k. f(x) = l. f(x) = m. f(x) = n. f(x) = o. f(x) = p. f(x) = q. f(x) = r. f(x) = E. Menghitung Turunan Fungsi Trigonometri Untuk menentukan turunan fungsi trigonometri, sebaiknya kita ingat rumus-rumus trigonometri antara lain : 1. sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y 2. cos (x+y) = cos x cosy – sin x sin y 3. tan (x+y) = 4. sin 2x = 2 sin x cos x 5. cos 2x = 1 – 2 sin2 x Disamping rumus-rumus trigonometri kita juga mengetahui bahwa : 1. = 1 2. = 0 3. = 1 Dengan definisi f’(x) = kita akan menemukan rumus turunan fungsi trigonometri . Contoh. Tentukan turunan dari : 1). f(x) = sin x 2). f(x) = cos x 3). f(x) = sin 2x Jawab. 1). f(x) = sin x f(x+h) = sin (x+h) = sin x cos h + cos x sin h f’(x) = = = = = sin x.0 + cos x . 1 = cos x 2). f(x) = cos x f(x+h) = cos (x+h) = cos x cos h - sin x sin h f’(x) = = = = = cos x.0 - sin x . 1 = - sin x 3). f(x) = sin 2x f(x+h) = sin (2x+2h) = sin 2x cos 2h + cos 2x sin 2h f’(x) = = = = = sin 2x.0 - sin 2x . 2 = - 2 sin 2x Tugas Portopolio 4 (Pelatihan 4 ) Dengan menggunakan rumus f’(x) = tentukan turunan fungsi berikut. 1. f(x) = 3 sin x 6. f(x) = sin x cos x 2. f(x) = sin 5x 7. f(x) = 3. f(x) = cos 5x 8. f(x) = 4. f(x) = 3 cos x + 2 sin x 9. f(x) = 5. f(x) = 2x sin x 10. f(x) = F. Turunan Fungsi Komposisi Untuk menentukan turunan fungsi komposisi kita dapat melacak asal fungsi komposisi tersebut sehingga kita dapat menentukan turunannya. Adapun rumus turunan fungsi komposisi antara lain sebagai berikut : 1. f(x) = c g(x) f’(x) = c g’(x) 2. f(x) = u(x) + v(x) f’(x) = u’(x) + v’(x) 3. f(x) = u(x) . v(x) f’(x) = u’(x). v(x) + v’(x). u(x) 4. f(x) = f’(x) = 5. f(x) = [u(x)]n, dengan f’(x) = n un-1(x). u’(x) Contoh. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 1. f(x) = 2x cos x 2. f(x) = 3. f(x) = (2x + 4)5 Jawab : 1. f(x) = 2x cos x u(x) = 2x u’(x) = 2 v(x) = cos x v’(x) = - sin x f(x) = u(x). v(x) f’(x) = u’(x).v(x) + v’(x).u(x) = 2 cos x + (- sin x ). 2x = 2 cos x – 2x sin x 2. f(x) = u(x) = 3x + 5 u’(x) = 3 v(x) = 2x - 3 v’(x) = 2 f(x) = f’(x) = = = = 3. f(x) = (2x + 4)5 u(x) = 2x+4 u'(x) = 2 f(u) = u5 f’(u) = 5u4 f(x) = [u(x)]n, dengan f’(x) = n un-1(x). u’(x) = 5u4. 2 = 5(2x+4)4 . 2 = 10(2x+4)4. Tugas Portopolio 5 (Pelatihan 5 ) Dengan menggunakan sifat-sifat turunan, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 1. 6. 2. f(x) = (x3 +2 x2 +3 x)3 7. f(x) = (x3-x+2)(x4+x) 3. 8. 4. f(x) = 9. 5. 10. 3. Persamaan Garis Singgung pada Kurva Pada awal bab ini kita telah mengetahui bahwa f’(a) = . Notasi f’(x) dapat ditulis dengan . Jika suatu kurva dengan persamaan y = f(x) maka f’(x) = atau . Padahal dalam persamaan garis, . Jadi gradien garis singgung titik P(a,b) di suatu kurva y = f(x) adalah : Contoh . 1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 2x – 5 di titik yang berabsis 1 Jawab. Titik singgung : x = 1 y = (1)2+2.(1)-5 = -2 titik singgung (1, -2) Gradien garis singgung : y’ = 2x + 2 y’x=1 = 2.(1) + 2 = 4 Persamaan garis singgung : y – y1 = m(x – x1) y – (-2)) = 4 (x – 1) y + 2 = 4x – 4 y = 4x – 6. 2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = cos x di titik Jawab. Gradien garis singgung : y’ = - sin x = -1 Persamaan garis singgung : y – y1 = m(x – x1) y – (0) = -1 (x – ) y = -x + x + y + = 0 Tugas Portopolio 6 (Pelatihan 6 ) 1. Tentukan gradient garis singgung setiap kurva berikut pada nilai x yang diberikan. a. y = 3x2 – 2x untuk x = 2 b. y = 2 , untuk x = 4 c. y = untuk x = 2 d. y = 2 - untuk x = 3 e. y = x3 + 5x – 2 untuk x = -3 2. Tentukan persamaan garis singgung setiap kurva dengan titik singgung yang ada a. y = x2 di titik ( 3, 9) b. y = di titik (9, 3) c. y = x2 – 3x + 4 di titik (1, -2) d. y = di titik ( 2, ) e. y = (2x + 5)3 di titik ( 1, 27) 3. Tentukan koordinat titik singgung kurva berikut jika gradiennya (m) diketahui a. y = x3 + x2 , jika gradient garis singgung 2 b. y = 3 + 3x – 2x2 , jika gradient garis singgung –2 c. y = , jika gradient garis singgungnya 2 d. y = , jika gradient garis singgungnya 2. e. y = , jika gradient garis singgungnya –1 . 4. Tentukan gradient setiap kurva pada nilai x yang diketahui a. y = cos x, untuk x = b. y = 2 cos x – 3 sin x, untuk x = c. y = x2 + cos x , untuk x = d. y = sin x + cos x, untuk x = e. y = 2 sin 2x, untuk x = . 5. Tentukan titik singgung ( 0 < x < 360o ) pada gradient tiap-tiap kurve berikut. a. y = sin x, gradient garis singgungnya 1 b. y = x + sin x, gradient garis singgungnya c. . y = 2 sin x – cos x, dengan gradient garis singgung –1. d. y = sin x – 3 cos x, dengan gradient garis singgung 0 4. Fungsi Naik atau Fungsi Turun Untuk menentukan selang di mana suatu fungsi naik atau turun dapat diketahui melalui turunan suatu fungsi. Kita telah mengetahui bahwa gradient garis singgung merupakan nilai turunan pertama di suatu titik. Dengan demikian dapat disimpulkan : Contoh. 1. Tentukan interval dimana fungsi f(x) = x2 –4x +5 naik. Jawab. f(x) = x2 –4x +5 f’(x) = 2x - 4 Naik : f’(x) > 0 2x – 4 > 0
x > 2
Jadi grafik fungsi f(x) = x2 –4x +5 naik pada interval x > 2.

2. Tentukan interval dimana fungsi f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 4 turun.
Jawab.
f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 4 f’(x) = 3x2 + 6x – 9
Turun : f’(x) < 0 3x2 + 6x – 9 < 0 3(x2 + 2x – 3) < 0 3 (x+3)(x-1) < 0 + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + -3 1 Jadi f(x) turun pada interval : -3 < x < 1 Tugas Portopolio 7 (Pelatihan 7) Tentukan interval dimana grafik fungsi berikut naik dan dimana grafik fungsi berikut turun. 1. f(x) = x2 + x – 6 6. g(x) = 2. f(x) = x2 – 5x – 6 7. f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 3. f(x) = x3 – 9x 8. h(x) = 4. y = 9. f(x) = 3x3 5. y = 10 y = 5. Titik Stationer dan Titik Belok a. Menentukan Titik Stationer dan Jenisnya Titik stationer dapat diperoleh dari f’(x) = 0. Sedangkan jenis titik stationer terdiri dari : titik balik maksimum, titik balik minimum dan titik belok. Dari ketiga jenis titik stationer ini dapat diselidiki dari perubahan interval dimana grafik fungsi naik dan turun. - jika : naik – turun titik balik maksimum - jika : turun – naik titik balik minimum - jika : naik – naik titik belok - jika : turun – turun titik belok Contoh 1. Tentukan nilai stationer dan jenisnya dari fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x - 2 Jawab. f(x) = x3 – 6x2 + 9x - 2 f’(x) = 3x2 – 12x + 9 f mempunyai nilai stationer jika f’(x) = 0 3x2 – 12x + 9 = 0 3(x2 – 4x + 3) = 0 3(x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Nilai stationer : f(1) = (1)3 – 6(1)2 + 9(1) – 2 = 0 f(3) = (3)2 – 6(3)2 + 9(3) – 2 = 27 – 54 + 27 – 2 = -2 Jadi nilai stationernya f(1) = 0 dan f(3) = -2 Jenis stationer dapat dilihat dari interval naik/turun : + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + 1 3 Pada x = 1 terjadi perubahan dari naik ke turun,.maka f(1) = 0 adalah nilai maksimum Pada x = 3 terjadi perubahan dari turun ke naik, maka f(2) = -2 adalah nilai minimum. 2. Tentukan titik stationer dan jenisnya dari fungsi f(x) = -x3 Jawab. f(x) = -x3 f’(x) = -3x2 f mempunyai nilai stationer jika f’(x) = 0 - 3x2 = 0 -3(x2) = 0 x1 = 0 atau x2 = 0 Nilai stationer : f(0) = -3(0)3 = 0 Jadi nilai stationernya f(0) = 0 titik stationer (0, 0) Jenis stationer dapat dilihat dari interval naik/turun f’(x) : - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 Pada x = 0 terjadi perubahan dari turun ke turun. Maka f(1) = 0 adalah nilai belok Jadi titik (0, 0) adalah titik belok. Tugas Portopolio 8 (Pelatihan 8) 1. Tentukan nilai stationer dan jenisnya dari fungsi-fungsi berikut ini. a. f(x) = x2 + 5x – 6 f. g(x) = b. f(x) = x2 + 2x – 8 g. f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 c. f(x) = x3 – 9x h. h(x) = d. y = i. f(x) = 3x3 + 5 e. y = j. y = 2. Tentukan koordinat titik stationer dan jenisnya dari fungsi-fungsi berikut ini. a. f(x) = (2 - x)(3+ x) f. g(x) = b. f(x) = x2 – 2x + 4 g. h(x) = c. y = h. f(x) = x4 – 2x2 – 10 d. y = i. f(x) = x4 – 2x3 e. y = j. f(x) = 6 – 12x + 9x2 – 2x3 f. Menggambar Grafik Fungsi Setelah kita mengetahui kedudukan grafik tentang : interval grafik naik, interval grafik turun, titik stationer dan jenisnya maka kita dapat menggunakan hal tersebut untuk menggambar grafik suatu fungsi fungsi. Adapun langkah-langkah untuk menggambar gfarik fungsi adalah sebagai berikut : 1. tentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu koordinat, 2. tentukan interval dimana grafik fungsi naik dan dimana grafik fungsi turun, 3. tentukan koordiat titik stationer dan jenisnya, 4. menentukan nilai y untuk x besar positif dan x besar negarif 5. titik bantu (bila perlu). Contoh Gambarlah grafik fungsi 1. f(x) = x3 – 3x + 2 2. f(x) = y = 2x2 – x4 . Jawab. 1. f(x) = x3 – 3x + 2 - Titik potong grafik dengan sumbu X : y = 0 x3 – 3x + 2 = 0 (x + 2)(x2 – 2x +1) = 0 (x + 2)(x - 1)(x – 1) = 0 x1 = -2, x2 = 1, dan x3 = 1 Jadi titik potong dengan sumbu X : (-2, 0) dan (1, 0) Titik potong grafik dengan sumbu Y : x = 0 y = (0)3 – 3.(0) + 2 = 2 Jadi titik potong grafik dengan sumbu Y : (0, 2) - Interval naik/turun f(x) = x3 – 3x + 2 f’(x) = 3x2 – 3 Naik : f’(x) > 0 3x2 – 3 > 0
3(x2 – 1) > 0
3(x+1)(x-1) > 0
Turun : f’(x) < 0 3x2 – 3 < 0 3(x2 – 1) < 0 3(x+1)(x-1) < 0 Jadi interval naik/turun : + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + - 1 1 naik : x < -1 atau x > 1
turun : -1 < x < 1 - Titik stationer dan jenisnya : Pada x = -1 y = (-1)3 – 3(-1) + 2 = 4 (-1, 4) (-1, 4) titik balik maksimum Pada x = 1 y = (1)3 – 3(1) + 2 = 0 (1, 0) (1, 0) titik balik minimum - Gambar : -2 -1 1 2 2. f(x) = y = 2x2 – x4 . - Titik potong grafik dengan sumbu X : y = 0 2x2 – x4 = 0 2x2(1 - x2 ) = 0 2x2 (1 + x)(1 – x) = 0 x1 = -1, x2 = 0, dan x3 = 1 Jadi titik potong dengan sumbu X : (-1, 0), (0, 0) dan (1, 0) Titik potong grafik dengan sumbu Y : x = 0 y = (0)2 – (0)4 = 0 Jadi titik potong grafik dengan sumbu Y : (0, 0) - Interval naik/turun f(x) = 2x2 – x4 f’(x) = 4x – 4x3 Naik : f’(x) > 0 4x – 4x3 > 0
4x(1 - x2 ) > 0
4x(1+x)(1 - x) > 0
Turun : f’(x) < 0 4x – 4x3 < 0 4x(1 - x2 ) < 0 4x(1+x)(1 - x) < 0 Jadi interval naik/turun : + + + + + + + - - - - - - - - -+ + + + + + - - - - - - - - - - - - - 1 0 1 naik : x < -1 atau x > 1
turun : -1 < x < 1 - Titik stationer dan jenisnya : Pada x = -1 y = (-1)3 – 3(-1) + 2 = 4 (-1, 4) (-1, 4) titik balik maksimum Pada x = 1 y = (1)3 – 3(1) + 2 = 0 (1, 0) (1, 0) titik balik minimum - Gambar : -2 -1 1 2 Tugas Portopolio 9 (Pelatihan 9) Buatlah skets grafik fungsi berikut. 1. y = 2x2 – 8x + 5 2. y = 3x4 + 4x3 3. y = x(1-x)2 4. y = x3 – 6x 5. y = x3(x-5) 6. y = 2x3 – 2x2 7. y = 2x3 – 2x2 – 8 8. y = x3 – 12x 9. y = x3 – 3x5 10. y = 3x4 + 8x2 + 3x + 4 6. Penggunaan Turunan dalam Menghitung Bentuk Taktentu Limit Fungsi. Kita telah mengetahui bahwa f’(a) = . Dengan menggunakan sifat-sifat limit, kita dapat menggunakan turunan untuk menentukan limit fungsi bentuk tak tentu. Jika diketahui dan adalah bentuk tek tentu , maka : = = = Contoh. Dengan menggunakan turunan, tentukan nilai limit fungsi berikut. 1. 2. Jawab. 1. (bentuk ) = = = 2. (bentuk ) = = = = = = ½ Catatan : Turunan pertama dari f(x) = adalah f’(x) = Tugas Portopolio 9 (Pelatihan 9) Dengan menggunakan turunan, tentukan nilai limit fungsi-fungsi berikut. 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10. 7. Ekstrim Fungsi a. Karakteristik Masalah Model Matematika dengan Ektrim Fungsi Untuk membahas tentang masalah model matematika yang berkenaan dengan nilai ekstim (stationer) suatu fungsi adalah : - Jika f(a) > f(x) untuk semua x pada domain f maka f(a) merupakan nilai maksimum mutlak (absolute) dari fungsi f sedangkan jika f(b) < f(x) untuk semua x pada domain f dapat berupa nilai minimum mutlak (absolute) dari fungsi f. Dengan a dan b anggota domain fungsi f. - Nilai balik maksimum fungsi pada domain f dapat berupa nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum relative, demikian juga nilai balik minimum suatu fungsi pada domain f dapat berupa nilai minimum mutlak atau nilai minimum relative. - Untuk mencari nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak fungsi f pada interval tertutup [a,b] dapat dilakukan dengan cara berikut . 1). Tentukan nilai stationer fungsi f dalam interval [a, b]. 2). Tentukan nilai fungsi f(a) dan f(b). 3). Bandingkan antara nilai stationer pada selang [a,b] dengan nilai f(a) dan f(b). Untuk fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c : (grafik berupa parabola) - jika a < 0 (grafik parabola menghadap ke bawah ) mempunyai titik maksimum - jika a > 0 (grafik parabola menghadap ke atas ) mempunyai titik minimum


Contoh.
1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) = x2 + 2x + 4 untuk -2 Jawab.
f(x) = x2 + 2x + 4 f’(x) = 2x + 2
Stationer : f’(x) = 0 2x + 2 = 0
x = -1
Nilai stationer f(-1) =(-1)2 + 2(-1) + 4 = 3
Nilai batas interval : f(-2) = (-2)2 + 2(-2) + 4 = 4
F(2) = (2)2 + 2(2) + 4 = 12
Dari nilai stationer dan nilai batas interval maka diperoleh :
Nilai maksimum 12
Nilai minimum 3

2. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) = x3 - 9x untuk -3
Jawab.
f(x) = x3 - 9x f’(x) = 3x2 - 9
Stationer : f’(x) = 0 3x2 - 9 = 0
3(x2 – 3) = 0


Nilai stationer =
=
=
=
=
=
Nilai batas interval : f(-3) = (-3)3 - 9(-3) = 0
F(3) = (-3)3 - 9(3) = 0
Dari nilai stationer dan nilai batas interval maka diperoleh : nilai maksimum dan nilai minimum


Tugas Portopolio 10 (Pelatihan 10)
1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi-fungsi berikut dalam interval yang diketahui.
a. f(x) = 2x2 – 4x + 5, untuk -1 < x < 1.
b. f(x) = 10 + 8x – x2, untuk 0 < x < 8
c. f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 8 , untuk –2 < x < 4.
d. f(x) = x4 + 3x + 4, untuk –2 < x < 4 .
e. f(x) = 2x4 – x2 – 6 , untuk –3 < x < 4.
f. f(x) =x3 + 3x2 + 3x, untuk –3 < x < 5.

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum relative/mutlak fungsi-fungsi berikut ini.
a. f(x) = x4 + x2 + 20
b. f(x) = x4 – 2x2 – 10
c. f(x) = x3 – 27x + 16
d. f(x) =

b. Penyelesaian Model Matematika
Model matematika dapat dikerjakan dengan turunan khususnya tentang maksimum dan minimum.
Contoh.
Suatu persegipanjang dengan keliling 40 meter. Tentukan ukuran persegipanjang tersebut agar luasnya maksimum !
Jawab.
Misalkan persegipanjang tersebut panjangnya p meter dan lebarnya l meter.
Keliling = 2 (p + l) 40 = 2(p + l)
20 = p + l
p = 20 – l
Luas : L = p x l
= (20 – l).l
L = 20l – l2
Nilai p dan l masing-masing positif
L mencapai stationer bila L’ = 0
L’ = 20 – 2l 20 – 2l = 0
l = 10 meter.
l = 10 p = 20 – l
= 20 – 10
= 10 meter
L maksimum = p x l
= 10 x 10
= 100 m2


Tugas Portopolio 12 (Pelatihan 12)
1. Luas permukaan sebuah balok yang alasnya berbentuk persegi adalah 150 m2.
2. Dua bilangan berjumlah 25. Agar hasil perkalian dua bilangan tersebut maksimum, carilah kedua bilangan tersebut dan hitung hasil perkaliannya.
3. Jumlah dua bilangan positif 80. Tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil perkaliannya maksimum dan berapa hasil perkaliannya ?.
4. Diketahui x + y = 48. Tentukan nilai x dan y agar xy2 maksimum dan tentukan nilai maksimumnya !
5. Selembar karton berbentuk persegi dengan panjang sisinya 24 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan menggunting pojok-pojoknya berbentuk persegi dengan panjang x cm. Tentukan nilai x agar volum kotak mencapai maksimum dan tentukan volum maksimumnya !
6. Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (x3-2000x2+ 3000000x). Jika barang itu harus diproduksikan maka berapakah biaya produksi per unit yang paling rendah perhari ?
7. Reaksi terhadap obat serangga t jam setelah disemprotkan pada tanaman dapat dinyatakan sebagai bilangan tak negative yang sama dengan 15t2 – t3. Berapa jam sebelum habis terjadi reaksi maksimum ?
8. Sehelai karton berukuran 16 cm x 10 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berbentuk persegi yang sisinya x cm. Tentukan :
a. Panjang dan lebar alas kotak yang dinyatakan dalam x.
b. Volum kotak sebagai fungsi x.
c. Nilai x agar volum kotak maksimum
d. Ukuran kotak (panjang, lebar dan tinggi) yang volumnya maksimum.
9. Sebuah bak air tanpa tutup dibuat dengan alas berbentuk persegi. Jumlah luas keempat dinding dan alasnya 27 cm2. Tentukan :
a. Volum maksimum
b. Ukuran bak air
c. Luas alas sehingga volumnya maksimum.
10. Sebuah tabung tanpa tutup terbuat dari seng tipis dapat memuat zat cair sebanyak 64 cm3. Tentukan :
a. luas seluruh tabung minimum
b. jari-jari tabung saat luas seluruh tabung minimum.




B. Jawabla masing-masing soal berikut dengan jelas !
1. Hitunglah nilai dari : .
2. Diketahui persamaan y = f(x) = 3x4 – 4x3 + 2. Tentukan :
a. Titik potong grafik dengan sumbu koordinat,
b. Interval-interval di mana kurve f(x) naik dan di mana turun,
c. Titik stationer
d. Sketsa grafik.

3. Diketahui persamaan fungsi y = f(x) = x3 – 6x2. Tentukan :
a. Titik potong grafik dengan sumbu koordinat,
b. Interval-interval di mana kurve f(x) naik dan di mana turun,
c. Titik stationer
d. Sketsa grafik.

4. Sebuah partikel bergerak setelah t detik menempuh jarak yang dinyatakan dengan rumus : . Hitunglah :
a. kecepatan pada saat t = 3
b. waktu, pada saat kecepatan nol,
c. kecepatan pada saat percepatan nol.

5. Gambar parabola di samping adalah y = -x2 + a. Di dalam parabola tersebut dibuat persegipanjang ABCD dengan A dan B pada sumbu X, C dan D terletak pada parabola. Jika AB = 8 cm, tentukan nilai a agar luas persegipanjang ABCD mencapai maksimum






45. Suatu benda bergerak dengan lintasan yang dirumuskan oleh s = 2t3 – t2 + 4t. Jika percepatannya 10 m/s2, maka nilai t = ….
a. d.
b. e.
c.